期末考试中微积分的证明题的分析：Taylor级数展开
Posted 卓晴
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了期末考试中微积分的证明题的分析：Taylor级数展开相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
简 介： 对于 今年期末微积分考试试题：看看你能够在两个小时内做对几道题？ 中的最后一道证明题进行了初步的分析。利用函数的Taylor级数展开，证明给定的积分系数趋近于0。但是由于原题中的图片过于模糊，所以对于最后的证明还存在一下午不确定的因素。
关键词： 微积分，Taylor级数
§01 微积分证明题
在 期末微积分考试试题求解 ：利用python求解 对于 网络上看到的一份期末微积分试题 进行了求解。所有的计算题都可以利用Python程序进行求解，但对于一些证明分析题目，就无法使用python现有的sympy软件包进行求解了。
下面对于最后一道题目进行分析。
1.1 附加题内容
设 h > 0 h > 0 h>0， f ( x ) f\\left( x \\right) f(x)为闭区间 [ − h , h ] \\left[ - h,h \\right] [−h,h]上的无穷可导函数，且 ∀ x ∈ [ 0 , h ] \\forall x \\in \\left[ 0,h \\right] ∀x∈[0,h]，以及任意非负整数 n n n，都有： f ( n ) ( x ) ≥ 0 f^\\left( n \\right) \\left( x \\right) \\ge 0 f(n)(x)≥0。
记： r n ( x ) = 1 n ! ∫ 0 x ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t r_n \\left( x \\right) = 1 \\over n!\\int_0^x \\left( x - t \\right)^n f^\\left( n + 1 \\right) \\left( t \\right)dt rn(x)=n!1∫0x(x−t)nf(n+1)(t)dt
求证： ∀ x ∈ ( 0 , h ) \\forall x \\in \\left( 0,h \\right) ∀x∈(0,h)，均有 lim n → + ∞ r n ( x ) = 0 \\mathop \\lim \\limits_n \\to + \\infty r_n \\left( x \\right) = 0 n→+∞limrn(x)=0。
1.1.1 初步分析
这个题目没有对函数 f ( x ) f\\left( x \\right) f(x)做具体制定，只是要求它在一定关于原点对称区间 [ − h , h ] \\left[ - h,h \\right] [−h,h]上无穷可导，而且在 [ 0 , h ] \\left[ 0,h \\right] [0,h]上的所有导数（包括函数本身）都大于0。
（1）
显然，如果要找到一个这样函数的代表，指数函数 f ( x ) = e x f\\left( x \\right) = e^x f(x)=ex应该是满足题目对于 f ( x ) f\\left( x \\right) f(x)的要求：
- 在 [ − h , h ] \\left[ - h,h \\right] [−h,h]上有无穷可导；
- 在 [ 0 , h ] \\left[ 0,h \\right] [0,h]上所有的导数都是大于等于0的。
那么，题目中的 r n ( x ) r_n \\left( x \\right) rn(x)的定义，就是：
r n ( x ) = 1 n ! ∫ 0 x ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t = 1 n ! ∫ 0 x ( x − t ) n e t d t r_n \\left( x \\right) = 1 \\over n!\\int_0^x \\left( x - t \\right)^n f^\\left( n + 1 \\right) \\left( t \\right)dt = 1 \\over n!\\int_0^x \\left( x - t \\right)^n e^t dt rn(x)=n!1∫0x(x−t)nf(n+1)(t)dt=n!1∫0x(x−t)netdt
显然，在
(
0
,
x
)
\\left( 0,x \\right)
(0,x)区间内，
e
t
e^t
et有一个最大值
M
M
M，
(
x
−
t
)
n
\\left( x - t \\right)^n
(x−t)n也会存在这一个最大值
N
n
N^n
Nn< 以上是关于期末考试中微积分的证明题的分析：Taylor级数展开的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章