动态规划不同的子序列

Posted 2022-02-05 富春山居_ZYY

文章目录

• • 一、题意分析
  • 二、思路分析
  • 三、代码结果
  • 四、代码升级

话不多说，上题！

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题目：给定两个字符串S和T，返回S子序列等于T的不同子序列个数有多少个？

字符串的子序列是由原来的字符串删除一些字符（也可以不删除）在不改变相对位置的情况下的剩余字符（例如，"ACE"is a subsequence of"ABCDE"但是"AEC"不是）
例如：

S=“nowcccoder”, T = “nowccoder”
返回3

一、题意分析

字符串子序列概念：

根据题目所述，字符串的子序列就是在不改变字符的位置的情况下，对字符进行部分删除（也可以不删除）而得到的字符串就是该字符串的子序列

例如：字符串“abc”的子序列就有“a”，“b”，“c”，“ab”，“ac”，“bc”，“abc”。但是“ba”这样的字符串就不是原来的字符串的子序列，因为改变了字符的相对位置。

需求分析：

有俩字符串S和T，要求的就是S的子序列中有多少个子序列是和T字符串一模一样

例如：S=“nowcccoder”, T = “nowccoder”

想要满足题意，S的子序列可以是“now ccoder”（没用第一个c），“nowc coder”（没用第二个c），“nowcc oder”（没用第三个c），所以结果为3

二、思路分析

可以将子问题分成S的子串中与T相同的子序列的个数，那么在状态分析的时候，状态F(i)就应该是S的前i个字符构成的子串与T相同的子序列的个数，并且需要保证子串的长度比T字符串长，虽然看上去没什么问题，但是实际分析实例的时候就会出现问题

例如：S=“abaaa”，T=“aba”，显而易见，F(3) = 1，但当求F(4)时，我们知道S字符串中的第四个字符是“a”和T字符串最后一个字符相同，有被使用的价值，如果被使用的话，就意味着前面的字符串必须得是“ab”然后在拼接上第4个字符“a”，就意味着需要将S字符串的第三个字符“a”删除，使之和T字符串的前两个字符组成的子字符串相同。但是状态中并没有对S字符串的子串与T字符串前两个字符相同的子序列个数进行推导分析，不符合状态推导。

因此真正的状态应该改成S的前i个字符中与T的前j个字符相同的子序列的个数。

• 当第i个字符和第j个字符相同时，说明该字符可以被使用。

  • 如果S中的第i个字符被使用了，那么需要在S字符串的前i-1个字符中找与T中前j-1个字符相同的子序列；
  • 如果没有被使用，那么需要在S字符串的前i-1个字符中找与T中前j个字符相同的子序列。

• 若是第i个字符和第j个字符不相同时，那么该字符没有被使用的可能。

  • 只能从S字符串的前i-1个字符中找与T中前j个字符相同的子序列。

初始值设置就是S字符串前0个字符与T字符串前0个字符相同的子序列有1个

动态规划四个角度：

1. 状态定义F（i，j） :S的前i个字符中与T的前j个字符相同的子序列的个数

2. 状态间的转移方程定义：

   • S[i] == T[j],如果使用S[i] ,F（i，j）= F（i-1，j-1）；如果不使用，F（i，j）= F（i-1，j）。因此F（i，j）= F（i-1，j-1）+ F（i-1，j）
   • s[i] != T[j],F（i，j）= F（i-1，j）

3. 状态的初始化:F（i，0）= 1 （表示S的子串与空串相同的个数，只有空串与空串相同）

4. 返回结果：F（S.length()，T.length()）

三、代码结果

public int numDistinct (String S, String T) 
    int row = S.length();
    int col = T.length(); 
    int[][] num = new int[row + 1][col + 1];//存放状态
    num[0][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= row;i ++) 
        num[i][0] = 1;//状态初始化
        for(int j = 1;j <= col;j ++) 
            if(S.charAt(i-1) == T.charAt(j-1)) 
                num[i][j] = num[i-1][j-1] + num[i-1][j];
                //S的第i个字符和T的第j个字符相同
            else 
                num[i][j] = num[i-1][j];
                //S的第i个字符和T的第j个字符不相同
            
        
    
    return num[row][col];//返回结果

四、代码升级

实际上，我们在求num[i][j]（状态F（i，j））的时候只使用了num二维矩阵的第i-1行的数据，因此只需要使用一个一维数组（大小为T字符串的大小加一）进行存储数据即可，并且第二层循环一定要从后向前进行，如果从前向后，那么使用的数据即状态都是本行的而不是上一行的，会出现差错，关于这一点在01背包问题中也说过，这里就不多加解释。

01背包问题链接

public int numDistinct (String S, String T) 
    int row = S.length();
    int col = T.length(); 
    int[] num = new int[col + 1];//存放状态
    num[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= row;i ++) 
        for(int j = col;j >= 1;j --) 
            if(S.charAt(i-1) == T.charAt(j-1)) 
                num[j] = num[j-1] + num[j];//状态转移方程
            
        
    
    return num[col];//返回结果

完！