大学必备算法，求最大公约数

Posted 2022-02-02 Linux猿

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🎈 作者：Linux猿

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目录

一、什么是最大公约数 ？

二、欧几里得算法

2.1 什么是欧几里得算法 ？

2.2 算法原理

2.3 算法实现

2.3.1 递归实现

2.3.2 非递归实现

三、实践练习

四、总结

五、参考文献

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本篇文章来讲解一个数论中的算法—求解最大公约数，最大公约数的求解是经常遇到的一个算法，下面就来讲解下求解最大公约数算法。

一、什么是最大公约数 ？

最大公约数（Greatest Common Divisor，简称：gcd）是多个整数的最大公共因子，也称为最大公因数。

例如：30 和 65 的公约数有 1, 5, 15，那么，最大公约数即为 15。

现在知道了什么是最大公约数，下面就来看一下如何求解最大公约数！

注意：本文主要讲解求解两个数的最大公约数，多个数的最大公约数后续会更新！

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二、欧几里得算法

2.1 什么是欧几里得算法 ？

欧几里得算法是用于求解最大公约数最常用的算法，也称为辗转相除法。首次出现于欧几里得的《几何原本》中，在我国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。

2.2 算法原理

假设有两个整数 a 和 b，求解 a 和 b 的最大公约数的算法步骤如下所示。

步骤一：如果 b 等于 0，a 为最大公约数；

步骤二：如果 b 不等于 0，继续求解 b 和 a % b 的最大公约数，进入步骤一。

下面证明一下算法的原理。

定理：两个整数的最大公约数等于两个数中较小的数和两数取余的余数的最大公约数。

假设有正整数 a 和 b。那么，a 可以表示成 a = kb + r（a，b，k，r 都为正整数），假设 d 是 a, b的一个公约数，a 和 b 都可以被 d 整除。 r = a - kb，两边同时除以 d，r/d = a/d - kb/d，由等式右边可知 m = r/d 为整数，因此 r 可以被 d 整除，因此 d 也是 b，a mod b 的公约数。 故 (a, b) 和(b, a mod b) 的公约数相等，则其最大公约数也相等，证毕。

2.3 算法实现

2.3.1 递归实现

代码实现如下所示。 

int gcd(int a, int b) 
    if(b == 0) 
        return a;
     else 
        return gcd(b, a%b);
    

下面来看一个更简洁的版本。

int gcd(int a, int b) 
    return b ? gcd(b, a%b) : a;

在上面的代码中，使用到了三目运算，实质和 if else 的形式是一样的，但是三目运算显得更简洁。

2.3.2 非递归实现

int gcd(int a, int b) 
    // 让 a > b
	if(a < b) 
		int t = a;
		a = b;
		b = t;
	

	// 循环求最大公约数
	while(b) 
		int r = a % b;
		a = b;
		b = r;
	
	return a;

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三、实践练习

下面是最大公约数的 OJ 练习题，可以注册提交下代码。

http://acm.zzuli.edu.cn/problem.php?id=1062

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四、总结

本文主要讲解了求解最大公约数的算法-欧几里得算法，小伙伴们要掌握算法的原理，根据第三部分实践练习里的题目加深理解。

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五、参考文献

[1] https://baike.baidu.com/item/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97/182343?fr=aladdin