随机过程10 -高斯过程与布朗运动

Posted 2022-01-30 Ciaran-byte

高斯过程与布朗运动

文章目录

• 高斯过程与布朗运动
• • 1. 布朗运动概述
  • • 1.1 定义
    • 1.2 布朗运动与高斯过程
    • 1.3 布朗运动的均值和协方差
  • 2. 布朗运动的变形
  • • 2.1 做差
    • 2.2 线性因子
    • 2.3 倒数
  • 3. 布朗运动的性质
  • • 3.1 反射原理
    • • 3.1.1 停时特性
      • 3.1.2 强马尔科夫性
      • 3.1.3 强马尔科夫性的应用：反射
      • 3.1.4 基于反射计算复杂的分布
    • 3.2 二次变差
  • 4. 伊藤微积分
  • • 4.1 布朗运动的微分
    • 4.2 布朗运动的积分
    • 4.3 期权定价问题
    • • 4.3.1 布朗运动与金融建模
      • 4.3.2 期权与对冲问题
      • 4.3.3 期权定价

1. 布朗运动概述

1.1 定义

  布朗运动有很多种等价定义，这里给出比较常见的一种

$$\begin{gathered} \text{Brown Motion}B(t) \\ \text{(1) }B(0)=0 \\ \text{(2) Independent Increment } \\ \text{(3) }B(t)-B(s)\sim N(0,{\sigma }^2(t-s)) \end{gathered}$$

• 布朗运动初值为0
• 是个独立增量过程，就是布朗运动的增量之间彼此独立
• 布朗运动的差值符合高斯分布

1.2 布朗运动与高斯过程

  布朗运动一定是高斯过程，即任取n个时刻得到的一定是联合高斯分布

$$\begin{gathered} \text{Gaussian Process} \\ \forall n\forall t_1\le ...\le t_n \\ (B(t_1),...,B(t_n){)}^T=B \end{gathered}$$

  我们可以来证明一下这个事情

  首先，我们定义一个随机矢量

$$\tilde{B}=\left(\begin{array}{c}B(t_1)\\ B(t_2)-B(t_1)\\ ...\\ B(t_n)-B(t_{n-1})\end{array}\right)$$

  这个随机矢量一定是一个联合高斯。

  因为首先，每一个随机变量，都是布朗运动两个时刻的差值，一定是个高斯分布,并且，对于第一项

$$B(t_1)=B(t_1)-0=B(t_1)-B(0)$$

  并且，布朗运动具有独立增量的特性，这个随机矢量的每一个随机变量都是互相不重叠的增量，一定是不相关的。如果n个高斯分布是不相关的，得到的一定是一个联合高斯。

  然后，我们可以看待一下B与定义的这个随机矢量之间具有线性变换的关系

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}B(t_1)\\ B(t_2)-B(t_1)\\ ...\\ B(t_n)-B(t_{n-1})\end{array}\right)=A\ast \left(\begin{array}{c}B(t_1)\\ B(t_2)\\ ...\\ B(t_n)\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{ccccc}1& & & & \\ -1& 1& & & \\ & -1& 1& & \\ & ...& ...& & \\ & ...& ...& -1& 1\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}B(t_1)\\ B(t_2)\\ ...\\ B(t_n)\end{array}\right) \end{gathered}$$

  因为矩阵A是可逆的，因此可以把B表示为

$$B=A^{-1}\tilde{B}$$

  联合高斯的线性变换一定是一个

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