AcWing算法基础课排序 二分 高精度 前缀和 差分 双指针 位运算 离散化 区间合并

Posted 2021-10-09 Prince_H_23

部分代码和课程内容来自
AcWing

ios:sync_with_stdio(false)

提高cin速度，不能再用scanf，速度还是没有scanf快

基础算法

排序

快速排序（nlogn） 分治

• 判断退出条件
• 确定分界点 mid
• 指针移动+交换
• 递归

（边界问题，mid和递归的划分要对应，取不到出错）

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[(l + r ) / 2];
    while (i < j)
    {
        do i ++ ; while (q[i] < x);
        do j -- ; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}

归并排序（nlogn） 分治

• 判断退出条件
• 确定分界点 下标mid
• 递归
• 归并 合二为一 放到temp中
• 存回原数组中

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

C++的sort()

快速排序+插入排序

二分

整数二分

二分保证一定有解，题目不一定有解

• 写while
• 取mid = (l + r) / 2
• 写check函数
• 看check函数决定l = mid还是r = mid(l=mid时候第一步+1)

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

浮点数二分

eg: 找平方根

• 保留四位小数 精度 < 1e-6
• 五位小数 1e-7
• 六位小数 1e-8

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

高精度

• 大整数存储：用字符串读，用vector存（小端）

A+B 10^6

• 算每一位的和放到vector中
• 当前位 %10，进位 /10
• 最后要处理是否还有进位

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

A-B 10^6 （）

• 先比较位数，然后从最高位开始比较。A>=B，否则算-(B-A)
• 循环处理每一位（判断B的位数是否还能减），记录是否有借位
• 处理前导0

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

A*a len(A) <= 10^6 a <= 10^9

• A的每一位乘a
• 当前位为(A a + 进位) % 10，进位为（A a + 进位）/ 10
• 不要忘记处理最后的进位

// C = A * b, A >= 0, b > 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();

    return C;
}

力扣 题b范围太大无法通过

A/B

• 从最高位开始算
• 余数为余数乘10 + 当前位
• 当前结果为 余数/b
• 余数为 当前余数%b
• 去除前导0

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(C.begin(), C.end());
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

前缀和（核心：求和）

下标从1开始，好处理边界问题

一维前缀和

• 如何求：Si = a1+a2+...+ai
• 作用:求出一段的和
• [l,r] = Sr - Sl-1
• 定义：
• S0 = 0
• Si = Si-1 + ai

二维前缀和

• Sij：左上所有元素的和

S_ {ij} = S_ {(i-1)j} + S_ {i(j-1)} -  S_ {(i-1)(j-1)} +  a_ {ij}

• (x1,y1)到(x2,y2)的所有元素和

S_ {x1,y1->x2,y2} = S_ {x2,y2} + S_ {x2,y1-1} -  S_ {x1-1,y2} +  S_ {x1-1,y1-1}

差分（核心：构造子序列）前缀和的逆运算

一维差分

应用：在一个数组a[]的指定区间[l,r]上每个数都加上c

• 构造出b[](b[i] = a[i] - a[i - 1])，a是b的前缀和
• 要a在[l,r]上的每个数都加c
• b[l] += c
• b[r+1] -=c
• 对b求前缀和，得到要的a

二维差分

应用：对二维矩阵指定区间的所有值加上c

• 构造b[](bi = ai - ai - 1 - ai + ai - 1)
• 要a在[x1,y1]到[x2,y2]上的每个数都加c
• bi += c
• bi + 1 -= c
• bi -= c
• bi + 1 +=c

双指针算法

• 两个序列两个指针
• 一个序列首尾指针
• 核心思想：O（n ^ 2） -> O(n)
• i是左指针

for(int i = 0, j = 0; j < n; j++)//后指针不断更新
{

    while(i < j && check_not_()) i++; //不满足条件，前指针更新
    
}

位运算

n的二进制表示中第k位是几

• 先把第k位移到最后一位 n >> k
• 看个位是几 & 1
• n >> k & 1(相当于与000001)

lowbit(x)

• eg：x = 101000 lowbit(x) = 1000
• lowbit(x)实现：x & -x
• 应用：统计1的个数
• eg：x -= lowbit(x) ans++;

离散化

• 思想：将0~10^9的n个不连续值映射到0，1，2，3 ... n-1
• eg：1，20，50000 -> 0，1，2
• 应用：值的跨度大，真正用到的数很少（AcWing 802）
• 排序
• 去重 alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());
• unique()将重复元素放到后面，返回下标
• 二分查找对应离散化值

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }

区间合并

• 按区间左端点排序
• 扫描整个区间，将有交集的区间合并
• 如果右端点小于当前左边，更新左右端点
• 如果右端点大于等于当前左边，更新右端点

void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;

    sort(segs.begin(), segs.end());

    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);

    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

    segs = res;
}