1574：矩阵取数游戏

Posted 2021-09-28 www.hp91.cn

1574：矩阵取数游戏

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【题目描述】

经常和同学玩一个矩阵取数游戏：对于给定的 n×m 的矩阵，矩阵中每个元素 aij 均为非负整数。游戏规则如下：

1、每次取数时必须从每行各取走一个元素，共 n 个，m 次取完所有元素。

2、每次取走的各个元素只能是该元素所在行行首或行尾。

3、每次取数都有一个的分值，为每行取数得分之和，每行取数得分==被取走元素值×2i ，其中 i 表示第 i 次取数，从 1 开始计数。

4、游戏结束时，总得分为 m 次取数得分之和。

想让你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

【输入】
输入包括 n+1 行。 第一行两个空格隔开的正整数 n,m 接下来 n 行每行 m 个用空格隔开的整数。

【输出】
输出为一个整数，为所输入矩阵取数后的最大得分

【输入样例】
2 3
1 2 3
3 4 2
【输出样例】
82
【提示】
样例解释 1

第一次：第一行取行首元素，第二行取行尾元素，本次得分为 1×21+2×21=6；

第二次：两行均取行首元素，本次得分为 2×22+3×22=20；

第三次：本次得分为 3×23+4×23=56，总得分为 6+20+56=82。

样例输入 2

1 4
4 5 0 5
样例输出 2

122
样例输入 3

2 10
96 56 54 46 86 12 23 88 80 43
16 95 18 29 30 53 88 83 64 67
样例输出 3

316994
数据范围与提示：

对于 60% 的数据，1≤n,m≤30，答案不超过 1016 ；

对于 100% 的数据，1≤n,m≤80,0≤ai,j≤1000。

思路：
有点思维含量的区间dp，与其他模板区间dp不同的是，这个题我们要对每一行进行区间dp处理，并且要高精度w(ﾟДﾟ)w

未加高精：

#include<bits/stdc++.h>
#define ull unsigned long long
#define maxn 105
using namespace std;

ull a[maxn][maxn],f[maxn][maxn];
ull p[maxn],ans=0,n,m;

void work(ull tmp)
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=m;i++) f[i][i]=a[tmp][i]*p[m];//预处理出如果最后选择i的值
    for(int l=2;l<=m;l++)
    {
        for(int i=1;i+l-1<=m;i++){
            int j=i+l-1;
            f[i][j]=max(f[i+1][j]+a[tmp][i]*p[m-l+1],f[i][j-1]+a[tmp][j]*p[m-l+1]);
        }
    } 
    
    ans+=f[1][m];
    
 } 

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
        }
    p[1]=2;
    for(int i=2;i<=m;i++) p[i]=p[i-1]*2;
    for(int i=1;i<=n;i++) work(i);//对于每一行进行一次dp 
    
    cout<<ans<<\'\\n\';    
    
}

加高精：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=85;
const int L=105,Power=4,Base=10000;
int n,m,a[N];
struct Bignum
{
    int a[L];
    Bignum(){memset(a,0,sizeof a);}
    Bignum(int x)
    {
        memset(a,0,sizeof a);
        while(x) {a[++*a]=x%10; x/=10;}
        return;
    }
    inline void Print()
    {
        int i;
        printf("%d",a[*a]);
        for(i=*a-1;i>=1;i--)
        {
            if(a[i]<1000) putchar(\'0\');
            if(a[i]<100) putchar(\'0\');
            if(a[i]<10) putchar(\'0\');
            printf("%d",a[i]);
        }
        puts("");
        return;
    }
    inline void Init()
    {
        memset(a,0,sizeof a);
    }
}Bin[N],dp[N][N];
inline bool operator<(const Bignum &p,const Bignum &q)
{
    if(p.a[0]!=q.a[0]) return (p.a[0]<q.a[0])?1:0;
    int i;
    for(i=p.a[0];i>=1;i--) if(p.a[i]!=q.a[i])
    {
        return (p.a[i]<q.a[i])?1:0;
    }
    return 0;
}
inline Bignum max(Bignum p,Bignum q)
{
    return (p<q)?(q):(p);
}
inline Bignum operator+(const Bignum &p,const Bignum &q)
{
    int i;
    Bignum ans=p;
    for(i=1;i<=q.a[0];i++)
    {
        ans.a[i]+=q.a[i];
        if(ans.a[i]>=Base){ans.a[i+1]+=ans.a[i]/Base; ans.a[i]%=Base;}
    }
    while(ans.a[ans.a[0]+1]) ans.a[0]++;
    return ans;
}
inline Bignum operator*(const Bignum &p,const Bignum &q)
{
    int i,j;
    Bignum ans;
    ans.a[0]=p.a[0]+q.a[0];
    for(i=1;i<=p.a[0];i++)
    {
        for(j=1;j<=q.a[0];j++)
        {
            ans.a[i+j-1]+=p.a[i]*q.a[j];
            if(ans.a[i+j-1]>Base)
            {
                ans.a[i+j]+=ans.a[i+j-1]/Base;
                ans.a[i+j-1]%=Base;
            }
        }
    }
    while(!ans.a[ans.a[0]]) ans.a[0]--;
    return ans;
}
inline Bignum operator*(const Bignum &p,const int &q)
{
    int i;
    Bignum ans;
    ans.a[0]=p.a[0]+5;
    for(i=1;i<=p.a[0];i++)
    {
        ans.a[i]+=p.a[i]*q;
        if(ans.a[i]>Base)
        {
            ans.a[i+1]+=ans.a[i]/Base; ans.a[i]%=Base;
        }
    }
    while(!ans.a[ans.a[0]]) ans.a[0]--;
    return ans;
}
inline Bignum Solve()
{
    int i,j;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        for(j=1;j+i-1<=m;j++)
        {
            int l=j,r=j+i-1;
            dp[l][r]=max(dp[l][r-1]+Bin[m-i+1]*a[r],dp[l+1][r]+Bin[m-i+1]*a[l]);
        }
    }
//    dp[1][m].Print();
    return dp[1][m];
}
int main()
{
    int i,j;
    Bignum ans;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    Bin[0]=Bignum(1);
    for(i=1;i<=m;i++) Bin[i]=Bin[i-1]*2;
//    for(i=1;i<=m;i++)
//    {
//        Bin[i].Print();
//    }
//    puts("");
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[j]);
        ans=ans+Solve();
    }
    ans.Print();
    return 0;
}