关于计算机的信息表示&对于数字的一些思考

Posted 2021-09-28 请填写此字段

对计算机而言，没有数字，只有数值类型。
在计算机眼中一切都是离散的，因为物理上它只拥有有限的位数：比如说有32个开关，计算机只知道其中哪些是打开的、哪些是关闭的，并不知道背后的含义。
是人类给这32个开关的开闭状态赋予含义。将这$2^{32}$种开闭情况映射成$2^{32}$个整数，就得到32位整型类型；将映射成$2^{32}$个实数，就得到32位浮点类型。
所以给定32个位，不管是映射成无符号整型、补码整型还是浮点数，最多能表达的数字个数是相同的。那么不同的映射方式得到的range，也就是数字的范围，就取决于这种映射的“密度”了。
以整数为例，一般情况下希望整数是连贯的，因此假设这$2^{32}$个整数的最小的数是$a$,那么最大的数就应该是$a+2^{32}-1$. 但如果你非得要创造一个新的数值类型，比如说叫“稀整型”，代表差为2的等差数列，那么最大的数则为$a+2*(2^{32}-1)$.
所以“稀整型”和整型表达的数字个数是一样的，但前者表达的范围大多了——代价是精度变低。比如说令$a=1$，那么“稀整型”不包含2，当然也不包含4/6/8...，所以一个只支持“稀整型”的计算机系统，在计算$1+1$时是无法得到$2$这个“正确答案”的，只能选择将“2”这个不存在的数投影到“稀整型”集合上，也就是说在“稀整型”集合上找一个和2尽可能接近的数字。正常情况下应该是1或3，但也不排除这个系统被设计成认为1023和2最接近，因此告诉你$1+1=1023$.
这上面提到的思想，包括特定数值类型代表的集合、集合元素的间距、集合元素的范围、不在该集合的数值如何投影到这个集合上，事实上都体现在浮点数的设计上。
在说浮点数的设计之前不妨先提一下二进制小数。
人类是通过“切分”认识到小数的：将1切成10份，一份是0.1，3份是0.3；将1切成2份，一份是0.5。这就是十进制小数和二进制小数。切2份得到0.5，切4份得到0.25，切8份得到0.125，诸如此类。比如说可以将1切成$2^{32}$份，每份的大小是$2^{-32}$，这样$2^{32}$个元素可以映射到这样一个等差数列上：$0,2^{-32},2^{-31},2^{-31}+2^{-32},...,1-2^{-31}$. 或者可以将这$2^{32}$个数的一半挪到负数上。这就是二进制小数的基本思想。
可以看出二进制小数和整型一样，是等距的。等距的问题就在于不太贴合现实应用场景，比如说在科学计算时一般希望数字的绝对值较小时有较高的精度，绝对值较大时则需要的精度可以降低——这就不是等距的。
浮点数通过“指数函数”的性质解决了等距的问题。不妨只考虑正数的情况，负数是对称的。
还记得上面提到从“开闭状态”到“数字”的映射是人定义的，这种映射可以看作是一个函数，x轴为不同开闭状态的ID编号，y轴为某个数字.