欧拉项目 | 243题 | 最简分数

Posted 2021-09-25 Leo_SHEN

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分子小于分母的分数被称为真分数。比如$d=12$，那么有11个真分数
$$\\frac{1}{12},\\frac{2}{12},\\frac{3}{12},\\frac{4}{12},\\frac{5}{12},\\frac{6}{12},\\frac{7}{12},\\frac{8}{12},\\frac{9}{12},\\frac{10}{12},\\frac{11}{12}$$
其中分子分母不能约分的分数成为最简分数，用$R(d)$来表示最简分数的个数与$d-1$之比，比如$R(12)=\\frac{4}{11}$，事实上，$d=12$是最小的整数满足$R(d)<\\frac{4}{10}$的。
求最小的$d$，使得$R(d)<\\frac{15499}{94744}$

一开始，我使用了暴力算法遍历$d$，但是大约几十秒过去了，$d$都到了大几百万还是不满足题意。我需要先推理简化问题再写程序。
令$d$有$k$个质因数，那么$d$可以写作
$$d=p_1^{q_1}p_2^{q_2}\\cdots p_k^{q_k}$$
和$d$互斥的因数个数是
$$(p_1-1)p_1^{q_1-1}(p_2-1)p_2^{q_2-1}\\cdots (p_k-1)p_k^{q_k-1}$$
那么
$$\\begin{aligned}R(d)&=\\frac{(p_1-1)p_1^{q_1-1}(p_2-1)p_2^{q_2-1}\\cdots (p_k-1)p_k^{q_k-1}}{d-1}\\\\&=\\frac{d\\cdot \\frac{p_1-1}{p_1}\\frac{p_2-1}{p_2}\\cdots\\frac{p_k-1}{p_k}}{d-1}\\\\&=\\frac{d}{d-1}\\frac{(p_1-1)(p_2-1)\\cdots (p_k-1)}{p_1p_2\\cdots p_k}\\end{aligned}$$
因为前面我已经知道$d$很大，那么$\\frac{d}{d-1}\\to 1$。所以要先找到一些质数，使得
$$\\frac{(p_1-1)(p_2-1)\\cdots (p_k-1)}{p_1p_2\\cdots p_k}<\\frac{15499}{94744}$$
且再多一个质数就会不满足这个不等式。
要使得$d$最小化，那么这些质数就是从2开始的前面这些质数，然后$d$就是这些质数之积。当然，这个时候的$d$可能不满足题意，因为忽略了系数$\\frac{d}{d-1}$，但是$d$的若干倍（倍数小于下一个质数）就会满足题意的。
其中$c,d$要使用long的原因是$p$很小但乘积可能超过int的表示范围。

int[] primes = Utils.GenPrimes(50).Where(l => l != 0).Select(Convert.ToInt32).ToArray();
long c = 1;
long d = 1;
foreach (var p in primes)
{
    c *= p - 1;
    d *= p;
    if (c * 94744L < d * 15499L)
    {
        break;
    }
}
for (int i = 2; i <= primes.Last(); i++)
{
    long n = d * i;
    if (c * n * 94744L < d * (n - 1) * 15499L)
    {
        return n.ToString();
    }
}