Multiple Qubits and Entangled States

Posted 2023-02-28 元之田

Single Qubit Superposition

量子态可以通过一些unitary transformation转变为叠加态量子态。

如Hardmard Gate就可以将$|0⟩$转变为叠加态$q_0$。
$H|0⟩=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$

$|q_0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩$

有趣的是，量子计算机中的任何操作均是可逆的(reversible)，这也就意味着，叠加态$|q_0⟩$可以通过变化再重新变回$|0⟩$。

这里我们只需要对$q_0$再进行一次Hardmard变换即可。

$H|q_0⟩=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right)$

对于叠加态，如$|q_0⟩$，我们在测量时会有50%的概率得到0，50%的概率得到1。这里的概率是由振幅决定的，振幅的平方即是概率。对于$|q_0⟩$，$|0⟩$的振幅为$\frac{1}{\sqrt{2}}$。

这里的测量，是在01坐标系下来看结果的，如果我们变更坐标系，得到的结果又将不同。

我们通过qiskit来进行测量一下。

from qiskit import QuantumCircuit, Aer, assemble
from math import pi
import numpy as np
from qiskit.visualization import plot_histogram, plot_bloch_multivector
qc = QuantumCircuit(1,1)
qc.h([0])
qc.measure(0,0)
qc.draw("mpl")

# use local simulator
qasm_sim = Aer.get_backend('qasm_simulator')
qobj = assemble(qc)
results = qasm_sim.run(qobj,shots = 1).result()
answer = results.get_counts()

plot_histogram(answer)

这里设置为测量一次，结果自然是一种。图中为1。

若测量1024次，结果就接近50%的均分。

Multiple Qubits Superposition

以上讨论了单个qubit的系统，对于多个qubit呢？

qc = QuantumCircuit(2,2)
# Apply H-gate and measure to each qubit:
for qubit in range(2):
    qc.h(qubit)
    qc.measure(qubit,qubit)
qc.draw('mpl')

测量1024次，我们得到的结果仍然接近均分。

这里是为什么呢？我们用数学来推导。

首先对于multiple Qubits的表示方法，我们需要借助tensor product。
基本规则如下，如初始状态 ∣ 00 ⟩ = ∣ 0 ⟩ ⊗ ∣ 0 ⟩ |00\\rangle=|0\\rangle \\otimes|0\\rangle Multiple Qubits and Entangled States

java Multiple_2_and_5

The Precision Atom Qubits Can “Talk” to Each Other

$element 匹配或 $unwind 与 AND/Multiple 条件与 mongoDB 聚合

Memory Layout for Multiple and Virtual Inheritance

[CSS] CSS Transitions: Delays and Multiple Properties