高等工程数学 矩阵的三角分解 （LU分解，LDR分解，Cholesky分解）

Posted 2023-02-28 肆拾伍

本文介绍了矩阵的三角分解，如LU分解，LDR分解，Cholesky分解等。
为博主在学习过程中，总结或者思考的记录，用于加深印象，不作为知识讲解和科普，如果理解有误还请指出。

文章目录

• • 前言
  • 一、LR（LU）分解，也称Doolittle分解
  • • 1. 什么矩阵可以分解
    • 2. 什么情况分解唯一
  • 二、带行变换的LU分解
  • 三、LDR分解
  • 四、Cholesky分解

前言

  对矩阵进行分解能够清晰反应出原矩阵的某些数字特征，在矩阵运算中可以起到化简的作用，其次在一些特定的场合将矩阵分解为合适的形式能够减少运算误差，在数值计算中有很重要的地位。

一、LR（LU）分解，也称Doolittle分解

若矩阵A可以表示为：

A = L·R

其中，L为单位下三角矩阵，R为上三角矩阵，则称A可三角分解（LR分解）。例如：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 4\\ 4& 3& 13\\ 2& 2& 20\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& & \\ 2& 1& \\ 1& 1& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}2& 1& 4\\ & 1& 5\\ & & 11\end{array}\right]=L\cdot R$$
LR分解可以用于解线性方程组 $Ax=b$，若方阵A有LR分解，即$A=L\cdot R$，令$Rx=y$，则方程组等价于：
$$\begin{array}{r}Ly=b\\ Rx=y\end{array}，此处L.R.b均为已知量$$
由于L和R的特殊形式，$Ly=b$ 很容易利用高斯消元迭代求出y，然后代入$Rx=y$，再次迭代求出x。

• 那么提出两个问题，是否所有矩阵可分解？分解的形式是否唯一？

  1. 什么矩阵可以分解

  很容易找到矩阵$\left[\begin{array}{ccc}0& & 1\\ 1& & 0\end{array}\right]$，此矩阵可逆但是没有三角分解。
  定理1： n阶方阵A具有唯一LR分解的充要条件是A的前 n - 1个顺序主子式不为零。
  其中， $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$ ，第k个顺序主子式${\Delta }_k=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1k}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{k1}& a_{k2}& \cdots & a_{kk}\end{array}\right|$
  易知$a_{11}$