单源最短路的应用与扩展

Posted 2021-09-10 拾柒

单元最短路与别的知识点的结合：

1.二分
2.拓扑排序
3.全排列/枚举
4.动态规划/记忆化搜索dp
5.从多个起点到多个终点求最短路，可以设置一个虚拟点或者当有多个起点一个终点时，反向求最短路
6.双端队列求01最短路

什么是01最短路

顾名思义，边权只有0和1的最短路。

算法分析
01最短路是最短路类型中比较特殊的一种，当然你也可以用一般的最短路解法（Dijkstra或SPFA）,但总所周知利用BFS队列维护，时间复杂度往往只需要O(N)。那该如何实现呢？如果当前处理的点连接的边为0，那么将这个点移至队首，否则移入队尾，这样就可以保证队列的单调性。

算法正确性
当我们更新到的点边权为0时，那么这个点一定是到当前为止的最短路，所以可以直接将改点移至队首，如果这个点边权为1，那么这个点可能并不是到当前为止最短的，因此我们要将它移至队尾。

算法应用
通常在遇到的最短路问题中，经常可以将问题抽象为01最短路的模型。例如求一条路径中有多少边权大于k，就可以把大于k的转换成1，小于等于k的转换为0，跑一边bfs即可得出答案。