算法迷题之夜过吊桥

Posted 2023-02-26 童话的守望者

在漆黑的夜晚，一家四口爸爸、妈妈、女儿和奶奶，要过一座吊桥。他们手中只有一个手电筒，每次过桥都需要用手电筒照亮。爸爸独自过桥需要1分钟，妈妈需要2分钟，女儿需要5分钟，奶奶需要10分钟，每次只容两人通过，每次通过的时间以慢者为准。请问一家四口如何在17分钟内通桥？

这是道非常有意思的问题。很多人第一想到是让最快的人返回，不过这样得到的结果是10+5+2+1+1=19分钟。而实际的方案却是（1，2），（2），（10.5），（1），（1，2），时间是10+2+2+2+1=17分钟，这个方案体现的原则是让速度慢的两个人一起过河。

所以我们可以总结出：（1）让最快的人返回；（2）让慢的人搭配行走。 这两条大概的原则。

这一问题，在sillke 的网站上有很多讨论。calude与Elena给出了通用的算法但没有给出严格的证明，Gunter Rote给出了证明（很无聊的那种）。博主的水平只能写到calude与Elena这一层，至于Gunter Rote的论文大家有兴趣的可以自己google一下。

实际上，如果你想programing，遍历是一个很好的选择。对于N个人过河，可以分解为N-1次double crossing和N-2次 single crossing。如果用矩阵来表示，可以用一个2n-3 * n 的boolean矩阵来表示渡河方案，如4个人的一种方案可以表示为：

0 0 0 0

1 1 0 0

0 1 0 0

0 1 1 1

0 0 1 1

1 1 1 1

其中第一行与最后一行为初始与最终状态。对于N个人过河，我们遍历所有的2n-3 * n 的boolean矩阵，检测其是否满足相关要求（很简单的规则，奇数行的和为1，偶数为2之类的）。不过无效的矩阵数目太多了，calude的实验表明，N=4时，有效方案为0.164%；N=5时，为0.000402%。

这种穷举的算法源码我稍后会上传到我的资源中去，欢迎大家下载。

好了，我们来讨论一个一般的问题，n个过河时间不同的人的最优方案是什么，有多少种？设t1<t2<...<tn

最后的答案是(n-3)t1+t2+...+tn-2+min2*t2,t1+tn-1+tn;

理论上的最小时间是（n-2）*t1+t[n]+(n-2)*t2。n-2次single crossing，n-1次double crossing 。显然，这并不是一个解决方案内的时间。我们接下来要做的就是把这个时间一点一点的放大，直到它满足我们的一种方案。

如果single crosing不变，我们改变double crossing 方案，（n-2）*t1+t[n]+(n-3)*t2+t3,（n-2）*t1+t[n]+(n-4)*t2+t3+t4。。。（n-2）*t1+2*t2+t3+...+tn，最终形成了按原则1的方案。

当然我们也可以改变single crosing的方案，让t2多来1趟。（n-3）*t1+3*t2+t3+...+tn-2+tn，最终形成了按原则2的方案。实际上当我们面对tn,tn-1,t1三人渡河时，有两种方案t1+tn-1+tn和tn+2*t2，我们当然要选择时间最少的那种，于是就有最终答案(n-3)t1+t2+...+tn-2+min2*t2,t1+tn-1+tn。

大家的问题可能有：

1.改变single crosing的方案，为何不让t3多来1趟？显然，t2多来一趟的时间比t3的时间短。

2.t2是否可以不只来返回一次？当然可以，上文给出是tn与tn-1的替代方案，其实tn-2,tn-3还没有考虑。

3.有多少方案？(N-1)!