什么是随机变量？

Posted 2023-02-25 --believe

1.随机变量定义

先搬科学定义
定义 设随机变量试验的样本空间为$S$ 。$X=X(e)$是定义在样本空间的实值单值函数。称$X=X(e)$为随机变量。

解释

样本空间：就是试验中可能的取值。举个栗子，预测明天的天气情况如下：

天气	下雨	多云	晴天
概率	0.3	0.5	0.2

对于该表，样本空间$S$就是下雨、多云、晴天集合。

$X=X(e)$为实值单值函数：啥叫实值单值函数？可以理解为一个值为实数的函数。

对于上面表格，e为天气的某一个取值，也就是说$e\in S$，$S$为前面提到的样本空间。$X=X(e)$表示对样本空间一个取值进行一个映射。比如我可以将下雨->(映射到)1，多云->2,晴天->3。

所以，何为随机变量，随机变量就是对样本空间值的一个映射。本质上就是一个函数。别人问你随机变量是什么的时候，你就可以跟他说是一个函数。听起来是不是很牛逼哈哈哈。

为什么需要定义随机变量呢？是因为下雨多云晴天这种文字在数学中根本无法运算，为了在数学中能够参与运算，就将样本空间映射到实数范围内。还是为了能够计算哇。

2.举例

下面举个例子说明随机变量的应用

投一个骰子，X表示骰子的点数。问P(X=3)为多少？

很简单，高中生都知道为3点的概率是$\frac{1}{6}$。

我们来科学的分析一下

$$\mathrm{p}(X=3)=\mathrm{P}(e\in S|X(e)=3)(1)$$

这是根据$X=X(e)$随机变量的定义来写的。但此题题目中有隐含映射条件:X表示骰子的点数.说明了X函数在$e$上的映射值就为$e$,即$X(e)=e$ ,此问中将3点映射为实数3。所以（1）式子进而等于

$$\mathrm{p}(X=3)=\mathrm{P}(3点)=\frac{1}{6}$$

3.写在后面

才疏学浅，可能解释得不是太清楚，参考视频如下，人民大学博士讲得通俗易懂。

参考视频：https://www.bilibili.com/video/av78972740