DFT 和 FFT 之间有啥区别使 FFT 如此之快？

Posted 2023-02-25

【中文标题】DFT 和 FFT 之间有啥区别使 FFT 如此之快？

【英文标题】：What are the differences between DFT and FFT that make FFT so fast?DFT 和 FFT 之间有什么区别使 FFT 如此之快？

【发布时间】：2017-06-08 18:39:53

【问题描述】：

我正在尝试理解 FFT，这是我目前所掌握的：

为了找到波形中频率的幅度，必须通过将波乘以它们正在搜索的频率来探测它们，在两个不同的相位（sin 和 cos）中并取平均值。阶段是通过它与两者的关系来找到的，其代码是这样的：

//simple pseudocode
var wave = [...];                //an array of floats representing amplitude of wave
var numSamples = wave.length;
var spectrum = [1,2,3,4,5,6...]  //all frequencies being tested for.  

function getMagnitudesOfSpectrum() 
   var magnitudesOut = [];
   var phasesOut = [];

   for(freq in spectrum) 
       var magnitudeSin = 0;
       var magnitudeCos = 0;

       for(sample in numSamples) 
          magnitudeSin += amplitudeSinAt(sample, freq) * wave[sample];
          magnitudeCos += amplitudeCosAt(sample, freq) * wave[sample];
       

       magnitudesOut[freq] = (magnitudeSin + magnitudeCos)/numSamples;
       phasesOut[freq] = //based off magnitudeSin and magnitudeCos
   

   return magnitudesOut and phasesOut;

为了非常快速地对很多频率执行此操作，FFT 使用了许多技巧。

使 FFT 比 DFT 快得多的捷径是什么？

附：我曾尝试在网上查看完整的 FFT 算法，但所有技巧都倾向于浓缩成一段漂亮的代码，没有太多解释。在我理解整个事情之前，我首先需要的是对这些有效变化中的每一个作为概念进行介绍。

谢谢。

【问题讨论】：

三角函数的对称性和周期性浮现在脑海中。我认为 MIT 的 Gil Strang 给出了一个了不起的解释：ocw.mit.edu/courses/mathematics/…

这是我最容易理解的两个。还有其他一些我觉得更奇怪的，只是简单地提到，比如位反转。谢谢你的视频。光是它的长度就让我犹豫不决，不确定它是否包含我正在寻找的答案，但它确实让我离知道我在寻找什么更近了一步。

FFT 比 DFT 更快，主要是因为它涉及的计算量更少。如果样本数为 2^n，则数学中有可用的快捷方式。有一些微妙之处；一些高度优化（最少计算）的 FFT 算法不能很好地与 CPU 缓存配合使用，因此它们比其他算法慢。不用担心 - 如果您使用像 FFTW 这样的预先优化的库，您将获得一个针对速度优化的 FFT 算法，而不是针对最少的计算次数。很多速度来自预先计算 FFT 的指数（它们是常数）。

我也在 DSP 上问过这个问题，尽管答案对于转换成代码并不简单。 dsp.stackexchange.com/questions/41558/…

本质上就是DFT = O(n^2), FFT = O(n log n)。

【参考方案1】：

见How to compute Discrete Fourier Transform?

这个想法是 N-point DFT 离散和积分可以分成 2 个 N/2-point 两半，其中两半都可以表示为 N/2-point 的函数 DFT 和一些小的调整以将它们组合成最终结果。这导致每个整个数据集需要几乎一半的操作。如果你递归地应用这个，你会得到O(n.log2(n)) 而不是O(n^2) 天真的方法。

有两种众所周知的方法可以将方程拆分为两个相似的半和，一种称为时间抽取，另一种称为频率抽取。 Booth 以代数方式拆分原始总和（利用 W 权重矩阵的对称性），所以只需 google。

调整通常涉及拆分为数据集的 even 和 odd 条目，或使用涉及 位反转的 butterfly shuffle 重新排序它们 的索引顺序，并且可以非常快速地硬连线...用于 HW DFFT 实现...有关更多信息，请参阅Wiki Butterfly diagram

【讨论】：

你现在已经改进了，谢谢，但第一段仍然是错误的（或者至少措辞不好）

@PaulR 有一段时间没来了，我想我终于发现了措辞不当的部分（花了我一段时间，我的英语没有达到应有的水平，有些部分丢失了（重新）翻译，但并非所有都是由翻译引起的）谢谢你发现它......

感谢您改进问题 - 已删除反对票。

@PaulR 最有可能的情况是我在想一件事而写另一件事。它时常发生在我身上，但通常是口语，我从与之交谈的人那里得到直接的反馈。这是我第一次以书面形式发现它。结合记忆视觉，我确实读回了我在想什么，而不是我在写什么。几天后我忘记了，终于读到了真正的交易...... :) 因为我忽略了很多错别字并在之后进行了很多编辑......