我们能否确定一个数 n 是不是属于可数集 S？

Posted 2023-02-25

【中文标题】我们能否确定一个数 n 是不是属于可数集 S？

【英文标题】：Can we decide if a number n belongs to a countable set S?我们能否确定一个数 n 是否属于可数集 S？

【发布时间】：2017-10-17 11:02:50

【问题描述】：

手头的问题如下：

令 S 是 N（自然数）的子集，因此它是无限且可数的。令 Ls=a^n | n 属于 S 一种语言。 Ls 是递归的吗？ Ls 是递归可枚举的吗？证明你的答案。

我很确定 Ls 对于任何 S 都是递归的，因为我们可以编写一个决定 Ls 的程序（或就此而言的图灵机）。但是我该如何证明呢？

【参考方案1】：

不，你不能。字符串和数字之间存在简单的、绝对可计算的同构（例如，对于大小为 n 的字母表，将字符串作为以 n 为底的数字加上一些用于前导零的修饰）。因此，如果所有的数字集都是可判定的或可枚举的，那么所有的字符串集也是如此。