将带括号的条件转换为不带括号的等价条件

Posted 2023-02-24

【中文标题】将带括号的条件转换为不带括号的等价条件

【英文标题】：Converting conditions with parentheses to equivalents with no parentheses

【发布时间】：2012-11-09 21:01:25

【问题描述】：

我正在开发一个应用程序，用户可以在其中为某些任务添加条件。

例如，他可以有条件 a、b、c、d 并将它们组合在一起，最终看起来像这样：

(a AND b) OR ( c AND d ) 或(a AND b AND c) or d 或(a AND !b) AND c OR !d

等等

如何通过删除括号将这些条件转换为等效条件？

【参考方案1】：

布尔代数中的每个表达式都可以转换为等效表达式，无需括号，仅使用 AND、OR 和 !（一元 NOT）。

这是一个简单但低效的算法：

使用示例表达式(a OR !b) AND c，

为变量的每个真值组合建立一个真值表：

| a | b | c | (a OR !b) AND c  |
| 0   0   0 | 0                |
| 0   0   1 | 1                |
| 0   1   0 | 0                |
| 0   1   1 | 0                |
| 1   0   0 | 0                |
| 1   0   1 | 1                |
| 1   1   0 | 0                |
| 1   1   1 | 1                |

对于表达式为真的每一组值（最右边一列中带有1 的每一行），使用ANDs 和! 创建一个表达式，该表达式仅针对该特定值集计算为真。

| a | b | c | (a OR !b) AND c  |
| 0   0   0 | 0                |
| 0   0   1 | 1                |  (!a AND !b AND c )
| 0   1   0 | 0                |
| 0   1   1 | 0                |
| 1   0   0 | 0                |
| 1   0   1 | 1                |  (a  AND !b AND c )
| 1   1   0 | 0                |
| 1   1   1 | 1                |  (a  AND b  AND c )

用 OR 连接表达式。

(!a AND !b AND c ) OR (a  AND !b AND c ) OR (a  AND b  AND c )

生成的表达式很少是最小的，因此您可能需要在之后应用一些最小化技术。

(!a AND !b AND c) OR (a AND !b AND c) OR (a AND b AND c)
=
(!a AND !b AND c) OR (a AND c)
=
(!b AND c) OR (a AND c)

哒哒！

需要注意的是，在步骤 1 中构建真值表是一个 O(2^n) 操作（以变量数计），这很糟糕。对于具有大量变量的情况，您可能需要使用不同的技术。该算法的主要优点是它可以非常明显地表明如何将任何表达式转换为您想要的形式。

编辑：需要明确的是，如果您使用的是普通优先规则，您可以删除最终表达式中的括号。

【参考方案2】：

您可以使用布尔代数的各种properties 来帮助简化表达式，但您可能无法摆脱所有括号。括号对于某些表达式是必需的，因为 NOT、AND 和 OR 的运算没有顺序。因此，如果您不能重新排列表达式以从左到右阅读，则需要括号。

【参考方案3】：

不完全确定转换为非括号等效项的动机是什么，所以我认为这意味着您正在尝试建立一种表达能力（即表达语言），以便用户将他们想要的任务条件传达给你的应用程序。

您无法消除对括号的需求，并且仍然支持具有正常运算符优先规则的正常中缀表达式语言中的任意复杂表达式。

我认为你有几个选择：

支持括号。 （它们并不难解析。）

使用不使用括号的替代相对标准或众所周知的表达语言，例如反向波兰表示法，又名 RPN。见http://en.wikipedia.org/wiki/Reverse_Polish_notation。 RPN 使用后缀表示法，允许用户通过定位和堆叠而不是使用括号来完全控制运算符的优先级。这是以必须仔细（重新）排序操作数和操作为代价的。 （没有免费的午餐。）

将您的语言的表现力限制为某些特定模式，这些模式在更正常（中缀）语言（具有运算符优先级）中不需要括号。

最后，如果您有一个用户界面来帮助用户编写他们的表达式（而不是文本语言），您可以执行上面的 #2 之类的操作，并使用用户定义子表达式的顺序来指示运算符的优先级，而无需括号。基本上，您的 UI 将帮助他们构建表达式树。

最后，如果您的问题是如何删除括号以执行表达式，这更像是代码生成问题。同样，RPN 堆栈很有用。或者，您可以将（可能是括号内的）表达式转换为由附加（编译器术语，临时）变量显式连接的单个迷你（例如三个操作数）语句。例如，(a + b) * c 变为 t1 = a + b，后跟 final-result = t1 * c。