从神经网络的不同成本函数和激活函数中进行选择

Posted 2023-02-23

【中文标题】从神经网络的不同成本函数和激活函数中进行选择

【英文标题】：Choosing from different cost function and activation function of a neural network

【发布时间】：2016-03-17 16:43:42

【问题描述】：

最近我开始玩弄神经网络。我试图用 Tensorflow 实现一个AND 门。我无法理解何时使用不同的成本和激活函数。这是一个基本的神经网络，只有输入层和输出层，没有隐藏层。

首先我尝试以这种方式实现它。正如你所看到的，这是一个糟糕的实现，但我认为它可以完成工作，至少在某种程度上是这样。所以，我只尝试了真正的输出，没有一个热门的真正输出。对于激活函数，我使用了 sigmoid 函数，而对于成本函数，我使用了平方误差成本函数（我认为它就是这样，如果我错了，请纠正我）。

我尝试使用 ReLU 和 Softmax 作为激活函数（具有相同的成本函数），但它不起作用。我弄清楚了为什么它们不起作用。我还尝试了带有交叉熵成本函数的 sigmoid 函数，它也不起作用。

import tensorflow as tf
import numpy

train_X = numpy.asarray([[0,0],[0,1],[1,0],[1,1]])
train_Y = numpy.asarray([[0],[0],[0],[1]])

x = tf.placeholder("float",[None, 2])
y = tf.placeholder("float",[None, 1])

W = tf.Variable(tf.zeros([2, 1]))
b = tf.Variable(tf.zeros([1, 1]))

activation = tf.nn.sigmoid(tf.matmul(x, W)+b)
cost = tf.reduce_sum(tf.square(activation - y))/4
optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(.1).minimize(cost)

init = tf.initialize_all_variables()

with tf.Session() as sess:
    sess.run(init)
    for i in range(5000):
        train_data = sess.run(optimizer, feed_dict=x: train_X, y: train_Y)

    result = sess.run(activation, feed_dict=x:train_X)
    print(result)

5000 次迭代后：

[[ 0.0031316 ]
[ 0.12012422]
[ 0.12012422]
[ 0.85576665]]

问题 1 - 是否有任何其他激活函数和成本函数可以为上述网络工作（学习），而不改变参数（意思是不改变 W、x、b）。

问题 2 - 我从 *** 帖子 here 中读到：

【激活功能】选择视问题而定。

所以没有可以在任何地方使用的成本函数？我的意思是没有可用于任何神经网络的标准成本函数。正确的？请纠正我。

我还使用不同的方法实现了AND 门，输出为 one-hot true。如您所见，train_Y[1,0] 表示第 0 个索引为 1，因此答案为 0。希望您能明白。

这里我使用了一个 softmax 激活函数，以交叉熵作为代价函数。作为激活函数的 Sigmoid 函数惨遭失败。

import tensorflow as tf
import numpy

train_X = numpy.asarray([[0,0],[0,1],[1,0],[1,1]])
train_Y = numpy.asarray([[1,0],[1,0],[1,0],[0,1]])

x = tf.placeholder("float",[None, 2])
y = tf.placeholder("float",[None, 2])

W = tf.Variable(tf.zeros([2, 2]))
b = tf.Variable(tf.zeros([2]))

activation = tf.nn.softmax(tf.matmul(x, W)+b)

cost = -tf.reduce_sum(y*tf.log(activation))

optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.5).minimize(cost)

init = tf.initialize_all_variables()

with tf.Session() as sess:
    sess.run(init)
    for i in range(5000):
        train_data = sess.run(optimizer, feed_dict=x: train_X, y: train_Y)

    result = sess.run(activation, feed_dict=x:train_X)
    print(result)

5000 次迭代后

[[  1.00000000e+00   1.41971401e-09]
 [  9.98996437e-01   1.00352429e-03]
 [  9.98996437e-01   1.00352429e-03]
 [  1.40495342e-03   9.98595059e-01]]

问题 3 那么在这种情况下我可以使用什么代价函数和激活函数呢？我如何理解我应该使用哪种类型的成本和激活函数？有没有标准的方式或规则，或者只是经验？我是否必须以蛮力的方式尝试每个成本和激活功能？我找到了答案here。但我希望得到更详细的解释。

问题 4 我注意到需要多次迭代才能收敛到接近准确的预测。我认为收敛率取决于学习率（使用太大会错过解决方案）和成本函数（如果我错了，请纠正我）。那么，是否有任何最优方式（即最快）或成本函数来收敛到正确的解决方案？

【参考方案1】：

成本函数和激活函数在神经网络的学习阶段起着重要作用。

正如第一个答案中所解释的，激活函数使网络有可能学习非线性函数，除了确保输出的微小变化以响应输入的微小变化。 sigmoid 激活 函数适用于这些假设。其他激活函数的作用相同，但计算成本可能较低，请参阅activation functions 以了解完整性。但是，一般来说应该避免使用 Sigmoid 激活函数，因为 vanishing gradient problem。

成本函数 C 在神经网络的学习速度中起着至关重要的作用。基于梯度的神经网络通过最小化成本函数以迭代方式学习，因此计算成本函数的梯度，并根据它改变权重。如果使用二次成本函数，这意味着它相对于权重的梯度与激活函数的一阶导数成正比。现在，如果使用 sigmoid 激活函数，这意味着当输出接近 1 时，导数非常小，正如您从图像中看到的那样，因此神经元学习缓慢。

交叉熵成本函数可以避免这个问题。即使您使用 sigmoid 函数，使用交叉熵函数作为成本函数，也意味着它关于权重的导数并不像二次函数那样与激活函数的一阶导数成比例，而是它们与输出误差成正比。这意味着当预测输出远离目标时，您的网络会更快地学习，反之亦然。

对于分类问题，如上所述，应始终使用交叉熵成本函数，而不是使用二次成本函数。

请注意，在神经网络中，交叉熵函数并不总是与您在概率中遇到的交叉熵函数具有相同的含义，它用于比较两个概率分布。在神经网络中，如果你有一个独特的 sigmoid 输出到最后一层，并且想将其视为概率分布，那么这可能是正确的。但这意味着如果你在最后一层有多个 sigmoid 神经元，这意味着损失。

【参考方案2】：

我会稍微乱七八糟地回答你的问题，从更一般的答案开始，最后是针对你的特定实验的答案。

激活函数 不同的激活函数，其实有不同的属性。让我们首先考虑一个神经网络两层之间的激活函数。激活函数的唯一目的是用作非线性。如果你不在两层之间放置一个激活函数，那么两层放在一起不会比一层更好，因为它们的效果仍然只是一个线性变换。很长一段时间以来，人们都在使用 sigmoid 函数和 tanh，几乎可以任意选择，其中 sigmoid 更受欢迎，直到最近，当 ReLU 成为主要的 nonleniarity 时。人们在层之间使用 ReLU 的原因是因为它是非饱和的（并且计算速度也更快）。想想 sigmoid 函数的图形。如果x 的绝对值很大，那么 sigmoid 函数的导数就很小，这意味着当我们向后传播误差时，随着我们返回层，误差的梯度会很快消失。使用 ReLU，所有正输入的导数都是1，因此激活单元根本不会改变那些激发的神经元的梯度，也不会减慢梯度下降。

对于网络的最后一层，激活单元也取决于任务。对于回归，您将需要使用 sigmoid 或 tanh 激活，因为您希望结果介于 0 和 1 之间。对于分类，您将只希望您的输出之一为 1，所有其他输出为零，但没有可区分的方法来实现正是如此，所以您将需要使用 softmax 来近似它。

你的例子。现在让我们看看你的例子。您的第一个示例尝试以下列形式计算 AND 的输出：

sigmoid(W1 * x1 + W2 * x2 + B)

请注意，W1 和 W2 将始终收敛到相同的值，因为 (x1, x2) 的输出应该等于 (x2, x1) 的输出。因此，您要拟合的模型是：

sigmoid(W * (x1 + x2) + B)

x1 + x2 只能取三个值之一（0、1 或 2），您希望在 x1 + x2 < 2 时返回 0，在 x1 + x2 = 2 时返回 1。由于 sigmoid 函数相当平滑，因此需要非常大的 W 和 B 值才能使输出接近期望值，但由于学习率小，它们无法快速达到这些大值。在您的第一个示例中提高学习率将提高收敛速度。

您的第二个示例收敛得更好，因为softmax 函数擅长精确地使一个输出等于1，而所有其他输出等于0。由于这正是您的情况，因此它确实很快收敛。请注意，sigmoid 最终也会收敛到好的值，但它需要更多的迭代（或更高的学习率）。

使用什么。现在到最后一个问题，如何选择要使用的激活函数和成本函数。这些建议适用于大多数情况：

如果你做分类，使用softmax作为最后一层的非线性，使用cross entropy作为代价函数。

如果您进行回归，请使用sigmoid 或tanh 作为最后一层的非线性，并使用squared error 作为成本函数。

使用 ReLU 作为层之间的非线性。

使用更好的优化器（AdamOptimizer、AdagradOptimizer）而不是GradientDescentOptimizer，或者使用动量来加快收敛，