更高维度的凸包，找到多面体的顶点

Posted 2023-02-14

【中文标题】更高维度的凸包，找到多面体的顶点

【英文标题】：Convex hull in higher dimensions, finding the vertices of a polytope

【发布时间】：2015-03-09 11:42:02

【问题描述】：

假设我有一个在 6 维空间中给出的点云，我可以根据需要将其变得密集。这些点最终位于低维多面体的表面上（即点向量 (x1, x2, ... x6) 似乎是共面的）。

我想找到这个未知多面体的顶点，我目前的尝试通过 Python 中的 scipy 接口使用 qhull 算法。一开始我只会收到错误消息，显然是由低维输入和/或许多退化点引起的。我尝试了几种蛮力方法来消除退化点，但不是很成功，所以最后，我认为所有这些点都必须位于凸包上。

This question 非常有帮助，因为它建议通过主成分分析进行降维。如果我将点投影到 4D 超平面，qhull 算法运行没有错误（对于任何更高的维度它都不会运行）。

from scipy.spatial import ConvexHull
from sklearn.decomposition import PCA

model = PCA(n_components=4).fit(initial_points)
proj_points = model.transform(initial_points)
hull = ConvexHull(proj_points, qhull_options = "Qx")

上述问题的答案提到，在计算投影点的凸包后，需要将单纯形转换回来。但是 qhull 输出仅包含索引，为什么这些与初始点的索引不匹配？

现在我的问题是我不知道使用哪种精度来实际获得正确的顶点。无论我制作的点云有多密集，获得的顶点都以不同的精度不同。例如，对于我得到的 (10000, 6) 数组中的初始点（其中 E0.03 是它的最大值）：

hull1 = ConvexHull(proj_points, qhull_options = "Qx, E0.03")
print len(hull1.vertices)
print hull1.vertices

5
[ 437 2116 3978 7519 9381]

并将其绘制在轴 0、1、2 的一些（信息量不大）投影中（其中蓝色点代表初始点云的选择）：

但是为了更高的精度（当然）我得到了不同的集合：

hull2 = ConvexHull(proj_points, qhull_options = "Qx, E0.003")
print len(hull2.vertices)
print hull2.vertices

29
[  74   75  436  437  756 1117 2116 2366 2618 2937 3297 3615 3616 3978 3979
 4340 4561 4657 4659 4924 5338 5797 6336 7519 7882 8200 9381 9427 9470]

相同的投影（只是角度略有不同）：

我怀疑第一张图片没有足够的顶点，而第二张图片可能有太多。虽然我当然无法从这些图中提取严格的信息。但是有没有一种很好的方法来找出使用哪种精度？或者也许是一种完全不同的方法来解决这个问题（我已经尝试了一些）？

【问题讨论】：

有趣的问题。我没有现成的答案，但同意第一个例子肯定看起来（肉眼）有太少的顶点。我猜，后一个总是倾向于沿着投影多面体的“边缘”（如果术语不好，而不是我的专业领域）有很多顶点，只是因为初始点是随机的 - 你不太可能在您所说的存在的多面体的“真实”顶点上获得一个。如果您有时间进行实验 - 您是否尝试过 Q8 选项，该选项似乎忽略了“几乎在内部”点。

感谢您的评论。事实证明，Qhull 中的大多数不同选项都会产生相同（不同）的答案，Q8 也是如此。唯一一个给出稍微不同的数字（但在不同的精度下仍然不稳定）是 Q9。集合不太可能包含预期的“真实”顶点是正确的，但由于它们非常接近，我觉得应该有一种方法来获得它们。

我想得越多，我就越感兴趣。看来这仍然是数学论文的主题。 This 显示了一种方法（2D），其中它们的 alpha 参数似乎对您的精度有类似的影响。问题是，根据定义，船体是可以包含点的最小多面体，但我们假设“真实”顶点可能位于样本集之外，并且在某种意义上，多面体具有比高精度估计产生的“更简单的形状”。肉眼看，好的，算法上，很难。

我还没有完全理解在船体上的所有点的重要性：也许可以使用识别点云中的（超）平面的技术。这些平面的交叉点可能会为您提供您正在寻找的简单船体。之后可以检查所有点都在上面或里面。我找到了为此引用的RANSAC algorithm。 1, 2

没关系，我认为下面@timothyshields 描述的算法使用梯度下降代替了你想要的。

【参考方案1】：

在这个答案中，我假设您已经使用 PCA 将数据近乎无损地压缩为 4 维数据，其中减少的数据位于概念上很少面的 4 维多面体中。我将描述一种方法来解决这个多面体的面，这反过来会给你顶点。

设 R⁴ 中的 x_i, i = 1, ..., m, 是 PCA 减少的数据点。

令 F = (a, b) 为 face，其中 a 在 R⁴ 中带有 • a = 1 且 b 在 R 中。

我们定义人脸loss函数L如下，其中λ⁺, λ^- 0是你选择的参数。 λ⁺ 应该是一个非常小的正数。 λ^- 应该是一个非常大的正数。

L(F) = sum_i(λ⁺ • max(0, a • x_i + b) - λ ^- • min(0, a • x_i + b))

我们想要找到关于损失函数 L 的最小面 F。所有最小面的小集合将描述您的多面体。您可以通过随机初始化 F 然后使用偏导数 ∂L / ∂a_j、j = 1、2、3、4 和 ∂L / ∂b 执行梯度下降来求解最小面。在梯度下降的每一步，约束一个 • a 通过归一化为 1。

∂L / ∂a_j = sum_i(λ⁺ • x_j • [ a • x_i + b > 0] - λ^- • x_j • [a • x_{i + b}

∂L / ∂b = sum_i(λ⁺ • [a • x_i + b > 0] - λ ^- • [a • x_i + b

注意Iverson brackets：如果 P 为真，则 [P] = 1，如果 P 为假，则 [P] = 0。

【讨论】：

在实际应用中，我仍然无法理解一些细节，但理论上我真的很喜欢这个想法。首先，我必须承认我不太清楚如何获得这些面孔。您能否解释一下（或指出某个来源），条件 a • a = 1 的由来？

向量 a 是（有向）面 F 的法线。条件 a • a = 1 只是限制法线 a 的长度为 1；也就是说，||a|| = 1.

啊，对。这就说得通了。 b 究竟是由什么决定的？我还没有完全实现这个想法，但我认为接受这一点是有道理的。

b 是面 F 沿其法线 a 的偏移量。当 b = 0 时，面通过原点。当 b = 5 时，人脸距离原点 5。

@Denor 我将部分渐变添加到答案的末尾。