如何从余数系统转换为混合基数系统？

Posted 2023-02-23

【中文标题】如何从余数系统转换为混合基数系统？

【英文标题】：How to Convert from a Residual Number System to a Mixed Radix System?

【发布时间】：2013-04-11 18:33:33

【问题描述】：

我了解Residual Number System 和Mixed Radix system 的概念，但我很难在一个简单的案例研究中找到我发现的任何转换方法。

我从 Knuth 的《计算机编程艺术》开始，但那对转换的理论有点过多，一旦提到欧拉，我就迷路了。***有一个关于这个主题的nice section，我试过here和here，但两次我都无法回到我开始时的号码。

我找到了一篇不错的文章here (PDF)，我把相关部分浓缩了here，但是我不明白乘法逆元及其符号。具体来说，如何 y_2 = |(3 - 19)|(1/31)|_7|_7 = |5 * 5|_7 特别是如何 |1/31|_7 = 5

【问题讨论】：

我不确定***的文章是否正确。

感谢您的编辑，我阅读了残数系统页面上的谈话页面，this 值得一读。

【参考方案1】：

乘法逆元是关于模数（这里是 7）。由于模 7 是素数，因此每个数（模 7）都有一个倒数。特别是 31_7 = 3_7（因为 31 = 4*7 +3 - 对不起，如果我太说教了），它的倒数是 5，因为 3 * 5 = 15 = 1_7。所以我们可以写 |1/31|_7 = 5。

现在

y_2 = |(3 - 19) |(1/31)|_7 |_7
    = | (-16) * 5 |_7
    = | 5 * 5 |_7            since -16 = (-3)*7 + 5
    = 4

【讨论】：

我现在明白你是如何得到 |-16|_7 = 5 的，根据我的经验，这是处理负模的一种不寻常的方式，但我可以使用它。我仍然迷失在这个 |(1/31)|_7 = 5 业务上。我知道 |31|_7 = |3|_7，但我并没有反过来关注你。 3 * 5 = 15，但 |15|_7 = 0。

咳咳... 15 = 2*7 + 1，因此 |15|_7 =1。