使用 numpy 将 3d 点转换为新坐标系的函数

Posted 2023-02-23

【中文标题】使用 numpy 将 3d 点转换为新坐标系的函数

【英文标题】：Function to transform 3d points to a new coordinate system with numpy

【发布时间】：2019-03-24 18:33:03

【问题描述】：

我在空间中有n 点： points.shape == (n,3)

我有一个由点O = [ox, oy, oz] 和3 个不同长度的正交向量定义的新坐标系：Ox = [oxx, oxy, oxz], Oy = [oyx, oyy, oyz], Oz = [ozx, ozy, ozz]。

我怎样才能写出这样的函数？

def change_coord_system(points, O, Ox, Oy, Oz)
    return # points in new coordinate system

【参考方案1】：

您在原始系统中有 4 个非共面点（其中lx 是第一个向量的长度，依此类推）：

(0,0,0), (lx,0,0), (0,ly,0), (0,0,lz)

和他们在新系统中的双胞胎

 [ox, oy, oz]
 [oxx + ox, oxy + oy, oxz + oz]
 [oyx + ox, oyy + oy, oyz + oz]
 [ozx + ox, ozy + oy, ozz + oz]

仿射变换矩阵A应该将初始点转换成它们的对点

   A * P = P' 

用点列向量制作矩阵：

      |x1  x2  x3  x4|    |x1' x2' x3' x4'|
   A *|y1  y2  y3  y4| =  |y1' y2' y3' y4'|  
      |z1  z2  z3  z4|    |z1' z2' z3' z4'|
      |1   1   1    1|    |1   1    1    1|

      |0  lx  0  0|    |ox oxx + ox . .|
   A *|0  0  ly  0| =  |oy oxy + oy . .| // lazy to make last columns  
      |0  0  0  lz|    |oz oxz + oz . .|
      |1  1  1   1|    |1   1    1    1|

要计算A，需要将两个sude乘以P矩阵的逆

A * P * P-1 = P' * Pinverse
A * E = P' * Pinverse
A = P' * Pinverse

因此计算 P 的逆矩阵并将其与右侧矩阵相乘。

编辑：Maple计算的逆矩阵是

 [[-1/lx, -1/ly, -1/lz, 1], 
  [1/lx, 0, 0, 0], 
  [0, 1/ly, 0, 0], 
  [0, 0, 1/lz, 0]]

得到的仿射变换矩阵是

[[-ox/lx+(oxx+ox)/lx, -ox/ly+(oyx+ox)/ly, -ox/lz+(ozx+ox)/lz, ox],
 [-oy/lx+(oxy+oy)/lx, -oy/ly+(oyy+oy)/ly, -oy/lz+(ozy+oy)/lz, oy], 
 [-oz/lx+(oxz+oz)/lx, -oz/ly+(oyz+oz)/ly, -oz/lz+(ozz+oz)/lz, oz], 
 [0, 0, 0, 1]]

Maple sheet view for reference

编辑： 刚刚注意到：Maple 没有删除过多的求和，所以结果应该更简单：

[[(oxx)/lx, (oyx)/ly, (ozx)/lz, ox],
 [(oxy)/lx, (oyy)/ly, (ozy)/lz, oy], 
 [(oxz)/lx, (oyz)/ly, (ozz)/lz, oz], 
 [0, 0, 0, 1]]

【讨论】：

非常感谢，完美的回答！

【参考方案2】：

假设我们有两个点，P=[2, 4, 5] 和 Q=[7, 2, 5]。首先，您必须找到旋转变换矩阵 A 和传输矩阵 B 并应用以下等式

使用numpy的代码是

import numpy as np
# points P and Q
points = np.array([[2,4,5], [7,2,5]])

# suppose that the matrices are
rotation_matrix = np.matrix('1 2 1; 1 2 1; 1 2 1')
b = np.array([1, 1, 1])

def transformation(points, rotation_matrix, b):
    for n in range(points.shape[0]):
    points[n,0] = rotation_matrix[0,0] * points[n, 0] + rotation_matrix[0,1] * points[n, 1] + rotation_matrix[0,2] * points[n, 2] + b[0]
    points[n,1] = rotation_matrix[1,0] * points[n, 0] + rotation_matrix[1,1] * points[n, 1] + rotation_matrix[1,2] * points[n, 2] + b[1]
    points[n,2] = rotation_matrix[2,0] * points[n, 0] + rotation_matrix[2,1] * points[n, 1] + rotation_matrix[2,2] * points[n, 2] + b[2]


Output:  array([[16, 30, 82],
                [17, 27, 77]])

我认为上面的函数给出了新的观点。你可以检查一下。当然，您可以使用 numpy 执行矩阵乘法，但您需要重塑 np.arrays。

【讨论】：

谢谢，但您能否提供一个带有建议签名的实现，即 change_coord_system(points, O, Ox, Oy, Oz) => 新坐标系中的点

@Bolo 这是数学问题而不是编程问题！如果你想要这个函数签名，你必须从 Ox、Oy、Oz 中找到旋转矩阵并在函数内部构造它。如果你不给我更多的细节，我无能为力。

对不起，但我认为你有足够的细节来实现确实会计算旋转矩阵的函数。