以（最多 2）个连续的 1 块为行的二进制矩阵，计算其平方的迹线

Posted 2023-02-22

【中文标题】以（最多 2）个连续的 1 块为行的二进制矩阵，计算其平方的迹线

【英文标题】：Binary matrix with (max 2) contiguous blocks of 1's as rows, calculate trace of its square

【发布时间】：2020-01-18 10:55:27

【问题描述】：

让A 是一个nxn 二进制矩阵，其行的形式为0^k 1^l 0^m 或1^k 0^l 1^m。此外，A 沿对角线有零。维度 n 最大可达10^5。该矩阵将通过给出1 的块开始和结束的索引来给出。

换句话说，这些行是由0 包围的一系列1 或由1 包围的一系列0。一行可以全为零，但不能全为 1（对角线上的零）。

一个例子A:

[0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0]
[0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
[1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
[1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1]
[1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1]
[0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0]

如何高效计算A^2的踪迹（在O(n^2)时间下）？

这相当于找到A的特征多项式的(n-2)'nd系数，记为g_2(A)，因为

tr(A^2) = (tr A)^2 - 2g_2(A) = -2g_2(A)

---

一点点这个问题出在哪里：

我们得到一个数字 [1..n] 的排列 p，并且对数量感兴趣

r(p) = #k | p^-1[k+1] < p^-1[k]

这里p^-1[k]表示k在p中的索引。我们想计算两个将 r 减少 2 的元素的所有交换。这可以通过考虑每个索引 k 来完成，其中 p[k] 移动是有利可图的。它取决于p[k]-1 和p[k]+1 的位置（仅在边缘情况下位于其他位置），这就是行的形式的来源。但另一个元素的移动也应该是有利可图的，因此问题变成矩阵A中有多少元素同时A[i][j]和A[j][i]等于1，我们被引导计算@987654351的踪迹@。此外，在最初的问题中，我们希望从中减去相邻数字 (|p[i]-p[j]|==1) 的对，因为这不会将 r 减少 2，而只会减少 1。但这可以在线性时间内完成，并且为简单起见是'不考虑这个问题。虽然，可能是原始问题对矩阵A 施加了一些进一步的限制，这可能有助于计算（？）

【问题讨论】：

这似乎应该是可能的，但并不容易。 A^2 的条目是 A 的行和列的每个标量积； A 的行遵循简单的结构，但列不遵循。我们需要一种方法来有效地计算给定范围内有多少行在给定列中有 1，因此从这个意义上说，这更像是一个数据结构问题而不是算法问题。

另一个想法是分解A = (L + M + R)，其中L是行首只有1的矩阵，M只有行中间的1，R行尾只有 1。 A^2 = (L + M + R)(L + M + R) 的扩展需要 9 次乘法而不是 1 次，但每次乘法都采用更简单的形式，因此可能更容易找到次二次时间算法。

【参考方案1】：

这可以通过sweep-line algorithm 使用Fenwick tree 在 O(n log n) 时间内完成。

该算法按顺序计算产品对角线的条目。它维护一个包含当前列的 Fenwick 树。 Fenwick 树可以在 O(log n) 时间内更新一个条目，并在 O(log n) 时间报告一个子数组和。对于位置 i × j…j'-1 中的每一部分行，我们创建两个事件，(j, i, +1) 和 (j', i, -1)。按事件的第一个条目（列，也就是时间）对事件进行排序和分组。事件 (j, i, Δ) 表示在时间 j 将条目 i 增加 Δ。要计算对角元素索引 k，首先应用时间为 k 的所有事件，然后报告相应行中所有事件的间隔，并将它们相加。

【讨论】：

谢谢，这太棒了！不幸的是，我没有足够的声望给 +1。原始问题的解决时间从 19 分钟缩短到 6 秒：D