如何确定与切线垂直的弧上一点的距离？

Posted 2023-02-22

【中文标题】如何确定与切线垂直的弧上一点的距离？

【英文标题】：How to determine distance to a point on arc perpendicular from tangent?

【发布时间】：2017-03-29 17:31:45

【问题描述】：

从下图中给出以下内容：

绿色圆圈的半径等于

B

黄线与绿圈相切 紫色垂直线平行于绿色线，垂直于黄色线。 黄线与绿线和垂直紫线都垂直 紫色点位于绿色圆圈边缘的中心

A

和

B

是已知值

我意识到其中一些限制重叠，只是想彻底。 勾股定理可以提供 C 的值，只是为了说明我知道我们已经可以确定的内容。

确定D的公式/方程式是什么，其中D是从切线黄线到圆弧/圆（在紫色点）的垂直距离？

更新

现在用我现在可以将其可视化为 John 提供的答案和 cmets 的正确表示来代替以前的尝试来说明解决方案

【问题讨论】：

正确的想法 - 错误的地方。将 C 视为红鲱鱼（无用信息）。考虑从中心到紫色 P) 的半径。从紫色（长度= A）向左延伸一条线（A'），在B'处与半径B相交，那么你应该有一个更好的三角形来给毕达哥拉斯的腿B'和A':)如果你需要更大的提示（或图纸），让我知道，我会发布它作为答案

是的，我同意 C 可能没用，我把它放在那里只是为了说明我们可以确定的其他内容，并不一定是 D 解决方案的一部分。

一个提示，应该避免给你答案的需要。如果您按照我上面的评论 - D = B - B'

查看我对图片的更新，这是与您在此处建议的下方更详细的答案相结合吗？

宾果游戏！你得到一个饼干 :) （别问，我现在有饼干的心情）

【参考方案1】：

距离D可以通过计算黄色线段右端点的垂直射线与圆之间的最低交点来找到。

一些符号（x 轴向右，y 轴向下，原点在圆心）：

圆心：P_C = (0, 0) 垂直射线的原点：P_O = (A, B) 垂直射线方向：v_d = (0, -1)

射线上的点满足：P = P_O + t v_d = (A, B - t)

圆上的点满足：|P P_O|^2 = B^2

将第一个方程扩展到第二个方程得到：A^2 + (B - t)^2 = B^2 = A^2 + B^2 - 2 B t + t^2

将t^2 - 2 B t + A^2 = 0 求解为t 得到d = B^2 - A^2 > 0，因此有两个解t_1 = B - sqrt(d)、t_2 = B + sqrt(d)（一个靠近圆的底部，另一个靠近预期的顶部）。但是t实际上给出了沿射线的距离（因为v_d是一个单位向量），所以我们要寻找的是最小解t_1。因此D = B - sqrt(B^2 - A^2)。

最终结果也可以从几何上推导和/或验证（由 John 提供，查看所有相应的 cmets）：D = B - B' 和 B'^2 + A^2 = B^2（Pythagorus 在直角三角形上，圆心和紫色点作为它的两个顶点和一条位于紫色线上的边）。

【讨论】：

没有所有技术，看来你已经接近我的位置了，但我无法遵循“一半” - 如上所述，D=B-B'，B'（by pythagorus ) = sqrt( b^2 - a^2)，因此 D = B-sqrt(b^2-a^2)，一半从哪里来？ -- 没关系，加评论的时候你输了一半

是的，这是标准判别式和简化判别式之间的混淆。

查看我对提议的图纸的更新，试图阐明我们如何获得解决方案。这是否说明了你的答案？

感谢 John 提供的详细回答和与 cmets 的对齐。我用我认为可以直观地理解两者的插图更新了帖子。

【参考方案2】：

正如您提到的，C 是最简单的部分。但是通过 A,B,C 和余弦定理，您可以计算出与 B (b) 相对的天使：

cos(b) = (a^2 + c^2 -b^2)/(2ac)

知道 b 和 A 和 D 有一个直角，你可以计算出 C 和 D 之间的角度（b'）：

b' = 90° - b

鉴于 D 位于圆上，您知道从中心到 D 的距离为 B，因此您现在有一个三角形，其边为 B、D 和 C，您知道其中两条边和一个角。再次使用余弦定律：

B^2 = C^2 + D^2 - 2CD cos(b')

所以再一步我们可以找到：

B^2 - C^2 = D^2 - 2CD cos(b') + (C cos(b'))^2 -(C cos(b'))^2 <=>
B^2 - C^2 + (C cos(b'))^2 = (D - C cos(b'))^2 <=>
sqrt(B^2 - C^2 + (C cos(b'))^2) + C cos(b') = D

希望我没有把愚蠢的错误放在那里，这会有所帮助...