使用埃拉托色尼筛法找到第 n 个素数

Posted 2023-02-22

【中文标题】使用埃拉托色尼筛法找到第 n 个素数

【英文标题】：Finding nth prime using Seive of Eratosthens

【发布时间】：2015-11-04 10:52:38

【问题描述】：

我正在使用 Eratosthenes 的 Seive 来计算第 1,000,001 个素数，但是，我无法计算使用 Seive 的上限。我的功能：

public static void Seive(int num)
    BitSet primes = new BitSet();

    for(int i=2; i<=num; i++)
        if(!primes.get(i))
            for(int j=i+i; j<=num; j+=i)
                primes.set(j);
            
        
    

    for(int i=2; i<=num; i++)
        if(!primes.get(i))
            System.out.print(i + " ");
           

计算从 2 到 num 的素数，但如果我不知道范围但有兴趣找到第 n 个数怎么办。

【问题讨论】：

请注意，您可以观看 Numberphile 关于素数的 Youtube 视频，nth 素数约等于 n*ln(n)。

maa.org/sites/default/files/jaroma03200545640.pdf

只是一个小细节，但如果将i+i 替换为i*i，筛选代码将运行得更快。 （所有小于i*i 的合数都已经从筛子中剔除，因此无需再次访问。）

How can I use the Sieve of Eratosthenes to get the nth prime?的可能重复

【参考方案1】：

素数定理的推论指出，对于 n > 5，第 n 个素数在 n log n 和 n (log n + log log n) 以 e 为底的对数。因此，找到前 n 个素数的一种简单方法是筛选到上限，然后丢弃第 n 个素数之外的素数。

【参考方案2】：

这就是Project Euler - Problem 7 中我怀疑你的工作的重点。它的设计方式使sieve 难以使用。 这个问题足够小，可以使用brute force method 或代替标准的蛮力除法，使用它们存储您的素数和蛮力。

【讨论】：

PE7 是找到第 10,001 个素数，我的是找到第 1,000,0001 个 :-D

同样的概念也适用。很难使用基于上限的算法，因为所需的界限是未知的

存储素数也需要上限，我怎么知道素数列表已经完成以便我可以蛮力？

是的，您要查找的素数数。这不是一个未知的上限。前几个可以硬编码或生成。每次您使用素数来计算下一个时，您将其添加到列表中并从那时起使用它

【参考方案3】：

看看prime number theorem。上限的一个很好的近似值是n * ln(n)（这里的基础确实很重要）。