打印二叉树中所有节点的祖先。我们可以在小于 O(n^2) 的时间复杂度内完成它吗？

Posted 2023-02-22

【中文标题】打印二叉树中所有节点的祖先。我们可以在小于 O(n^2) 的时间复杂度内完成它吗？

【英文标题】：Print ancestors of all nodes in a Binary Tree. Can we do it in less than O(n^2) time complexity?

【发布时间】：2016-05-30 15:54:23

【问题描述】：

这是在二叉树中打印特定节点的祖先的标准算法，它需要 O(n) 时间复杂度。

bool print(Node *node,int target)
    if(node==NULL)
       return false;
    if(node->target==target)
       return true;
    if(print(node->left)||print(node->right))
       cout << node->data;
       return true;
    
return false;

问题是我们是否需要打印所有节点的 的所有祖先，并将每个节点的祖先存储在一个数组中。时间复杂度是多少？我们能不能比 O(n^2) 做得更好，即不遍历每个节点并找到祖先。如果可能的话怎么做？

【问题讨论】：

未指定。以什么顺序？如果一个节点是多个节点的祖先，是否必须多次打印？而且您似乎没有假设树是平衡的。

这是一个非常奇怪的算法 - 使用从子到父的指针会容易得多。

执行此操作所需的时间与输出的大小成正比。对于 O(N log N) 的平衡树。对于不平衡的树，它是 O(N^2)

@PeterG。我希望每个节点的所有祖先都分别在数组中。每个节点都应该有自己的数组。

@Alan Stokes 订单可能是从孩子到父母或父母到孩子。

【参考方案1】：

如果你想要一个 array 对应于树中的每个节点，那么你不能做得比 O(N²) 最坏的情况更好，因为所有的总大小arrays 是最坏的情况 O(N²) （在树中的每个节点最多有一个孩子的情况下）。如果您希望树在某种程度上是平衡的，这将减少到 O(N log N)。

您可以通过共享数据来实现 O(N) 构造，对每个节点使用链表而不是数组。实际上，这相当于为每个节点计算一个父链接，因为链表只是对父链接的遍历。但是您无法避免打印成本，因为当您打印出所有祖先链时，您将打印平均 O(N log N) / 最坏情况 O(N²) 个项目。

父链接构造算法与您介绍的算法基本相同：递归遍历设置子节点的父链接到当前节点的树。要打印每个节点的祖先链，您可以在遍历树时使用父链接。

【参考方案2】：

它可以在O(n*h) 中完成，其中h 是树的高度，通过实现一个DFS，跟踪当前打开的节点。

类似 c++ 的简单伪代码可以是：

void PrintAll(const Node& node) 
  open = std::unordered_set<Node>;  // empty hash set
  PrintAll(node, &open);

void PrintAll(const Node& node, std::unordered_set* open) 
  if (node == null) 
     return;
  for (const Node& ancestor: open)
     cout << ancestor<< "," << node;
  open->add(node);
  PrintAll(node.left, open);
  PrintAll(node.right, open);
  open->remove(node);

警告：在这里，我们不打印(node, node)（每个节点也是它自己的祖先）。如果我们想这样做，可以通过在打印循环之前将node 添加到open 来轻松修复。 另外，您可以让unordered_set 只存储数据，而不是整个节点。

【参考方案3】：

以下代码将完成这项工作：

使用语言：Java

//  Algorithm for printing the ancestors of a Node.
static boolean findAncestors(Node root, Node a)

    if(root==null)
    
        return false;
    
    else if(root==a)
    
        System.out.print("Printing ancestors of node " + a.data + " : " + a.data);
        return true;
    
    else
    
        boolean var=false;
        var=findAncestors(root.left, a);
        if(var)
        
            System.out.print(", " + root.data);
            return true;
        

        var=findAncestors(root.right, a);
        if(var)
        
            System.out.print(", " + root.data);
            return true;
        

    
    return false;