如何有效地获得给定范围内的除数之和？

Posted 2023-02-22

【中文标题】如何有效地获得给定范围内的除数之和？

【英文标题】：How to get the sum of divisors in a given range efficiently?

【发布时间】：2019-01-08 09:24:10

【问题描述】：

我正在尝试在给定范围 a、b a c 的所有除数的总和。

我尝试从a 循环到b 并将c 的所有除数相加，但这似乎效率低下，因为a 和b 之间的绝对差可以是10^9。 有没有办法降低这种方法的时间复杂度？

int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
long long sum = 0;
for (int i = a; i <= b; i++) 
    if (i % c == 0) 
       ans += i;
    

cout << sum << endl;

【问题讨论】：

您可以尝试找到c 的素因数分解，然后从中导出所有可能的除数（在[a, b] 范围内）。不过，这要复杂得多。

...并且您需要考虑可能的重复项（例如，如果您将任何因子与任何其他因子配对，则 4 将出现多次，且素数分解为 2、2、2）。

@Aconcagua “工作”是一个主观形容词，如果您没有指定接受标准。在这里，OP 明确指出他们的实现不够高效：然后需要更正。这是正题。如果你不确定，你可以在Meta Stack Overflow问。

【参考方案1】：

注意：这个问题不清楚我们是需要对除数求和（在描述中）还是整除整数（在代码示例中）。答案总结了可分割的项目。

这很简单。

找到from，即满足from % c == 0 && from >= a 的最小值 找到to，最大的值使得to % c == 0 && to <= b

.

 int n = (to - from) / c + 1;
 return n * (to + from) / 2;

返回to - from + c。当to 可能溢出您的类型而from 可能下溢时，请注意边界条件。

要找到from，请执行以下操作：

if (c < 0) c *= -1;  // works unless c == MIN_INT
if (a % c == 0)
   from = a;
else if (a >= 0)
   from = (a / c * c) + c
else 
   from = a / c * c;

to 类似，但考虑到我们需要向下取整，而不是向上取整。

另外，a > b的情况需要单独处理。

编辑

这是没有循环、递归或容器的完整代码。它在 O(1) 中运行：

int a, b, c;
std::cin >> a >> b >> c;
if (!std::cin) 
   std::cout << "input error\n";
   return 0;


if (c < 0) c*= -1;
const int from = [a,c] 

   // no rounding needed
   if (a % c == 0) return a;

   // division rounds down to zero
   if (a > 0) return (1 + a / c) * c;

   // division rounds up to zero
   return a / c * c;
();

const int to = [b,c] 

   // no rounding needed
   if (b % c == 0) return b;

   // division rounds down to zero
   if (b > 0) return (b / c) * c;

   // division rounds up to zero
   return (b / c - 1) * c;
();

int64_t sum = 0;
if (from <= to)

 const int n = (to - from) / c + 1;
 sum = n * (to + from) / 2;

std::cout << sum << '\n';

【讨论】：

你确定不缺乘法吗？ c = 6, a = 5, b = 30 -> from = 6, to = 30 -> to-from+c = 30-6+6 = 30；可除数：6、12、18、24、30，总和为 90。

@Aconcagua 已修复

【参考方案2】：

首先找出所有作为 c 的除数的素数。这将为您留下一个数字列表 [w,x,y,z...]。然后在这个列表中保留一个包含所有整数倍数的哈希表集合，这些整数也是除数。

int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
long long sum = 0;

std::vector<int> all_prime_factors = // Get all prime factors of c
std::unordered_set<int> factorSet;
for (int primefactor : all_prime_factors)

    int factor = primefactor;
    while (factor <= b)
    
        if (factor % c == 0)
            factorSet.insert(factor);
        factor += primefactor;
    


for (int x : factorSet)

    sum += x;


cout << sum << endl;

【讨论】：

你能不能再快点？首先，将任何素因子添加到集合中，然后添加两个素因子的任何乘积，然后添加 3 中的任何一个，然后......当然，这不是微不足道的 - 然后获得素因子不同：虽然原始方法更愿意避免重复，这个需要重复保留...

为什么 a=12, b=18, c=6 会打印 12？不管我如何解释这个问题，这个结果对我来说毫无意义

假设使用factor += primefactor 进行修复，这在 O((b-a) * log(c) / log(log c) 中运行。这比 O(1) 的替代实现慢得多。