该算法的复杂度函数

Posted 2023-02-22

【中文标题】该算法的复杂度函数

【英文标题】：Complexity function of this algorithm

【发布时间】：2016-04-12 01:55:01

【问题描述】：

我正在尝试找到该算法的最坏情况复杂度函数，将比较语句视为最相关的操作。那是if和else if总是在循环下执行的时候，所以函数是2*循环执行次数。

由于变量i 每次复杂度可能为 O(log n) 时都会增加一个更大的数字，但我如何找到执行的准确次数？谢谢。

  int find ( int a[], int n, int x )     
  int i = 0, mid;
  while ( i < n ) 
     mid = ( n + i ) / 2;
     if ( a[mid] < x )
        n = mid;
     else if ( a[mid] > x )
        i = mid + 1;
     else return mid;
     
return 0;

【问题讨论】：

每次执行循环大小减少一半。所以如果你有 n 个元素，那么 pow(2,x) = n。其中 x = 迭代次数。（因为在最坏的情况下，循环在 i >=n 时终止）。所以 x = log2 (n)。

“因为变量 i 每次都增加一个更大的数字” - 不，不是：如果它正在增加（因为 x 仍然大于 @987654326 @)，每次都会减少一半 - 即每次增加一个较小的数字。无论如何......“可能O（log n）”是正确的......更具体地说是O（log-base-2（N））。 “但是我如何找到确切的执行次数？” 要找到“更糟糕的情况复杂度函数”，您不需要确切的执行次数；复杂性分析忽略了常数因素，需要不断减半搜索是最坏的情况。

谢谢各位，当 else if 为真时，你能解释一下为什么 log(2,n) 吗？当 if 语句为真时，我可以看到。

【参考方案1】：

定性理解

---

好吧，让我们尝试看看循环不变量，以了解这个函数要运行多长时间。

我们可以看到该函数会继续执行代码，直到满足while(i < n) ... 这个条件。

我们还要注意，在这个while 循环中，i 或 n总是被变异为mid 的某些变体：

if ( a[mid] < x )        # Condition 1:
    n = mid;             #   we set n to mid
else if ( a[mid] > x )   # Condition 2:
    i = mid + 1;         #   we set i to mid+1
else return mid;         # Condition 3: we exit loop (let's not worry about this)

所以现在让我们关注mid，因为我们的while 条件似乎总是根据这个值被削减（因为while 条件取决于i 和n，其中之一将每次循环迭代后设置为mid的值）：

mid = ( n + i ) / 2;     # mid = average of n and i

查看这些函数后，我们可以有效地看到这里发生了什么：

函数将在i < n时执行代码，每次循环迭代后i或n的值设置为平均值，有效地将i和n之间的空间减少了一半每次循环迭代。

这个算法被称为binary search，其背后的想法是我们每次在循环中迭代时都将数组边界减半。

所以你可以把它想象成我们一直把n切成两半，直到我们不能再切成两半。

定量分析

---

查看此问题的数学方法是查看我们在每次迭代中有效地将 n 除以 2，直到 i 和 n 彼此相等（或 n < i）。

所以让我们考虑一下我们可以将 n 除以 2 多少次直到等于 1？在这种情况下，我们希望我们的 n 等于 1，因为那是我们无法进一步拆分列表的时候。

所以我们得到了一个等式，其中x 是我们执行while 循环所需的时间：

n/2^x = 1
n = 2^x
lg(n) = lg(2^x)
lg(n) = x lg(2)
lg(n) = x

如您所见，x = lg(n) 因此我们可以得出结论，您的算法在 O(lgn) 中运行