背包 0-1 数量固定

Posted 2023-02-22

【中文标题】背包 0-1 数量固定

【英文标题】：Knapsack 0-1 with fixed quanitity

【发布时间】：2014-10-19 00:09:44

【问题描述】：

我正在编写具有多个约束的背包 0-1 的变体。除了重量限制外，我还有数量限制，但在这种情况下，我想解决背包问题，因为我的背包中需要正好有 n 件物品，重量小于或等于 W。我'目前我正在根据http://rosettacode.org/wiki/Knapsack_problem/0-1#Ruby 的 Rosetta Code 中的代码为简单的 0-1 案例实现动态编程 ruby​​ 解决方案。

实施固定数量限制的最佳方式是什么？

【参考方案1】：

您可以在表格中添加第三个维度：项目数。包含的每个项目都会在重量维度中添加重量，并在计数维度中添加计数。

def dynamic_programming_knapsack(problem)
  num_items = problem.items.size
  items = problem.items
  max_cost = problem.max_cost
  count = problem.count
  cost_matrix = zeros(num_items, max_cost+1, count+1)

  num_items.times do |i|
    (max_cost + 1).times do |j|
      (count + 1).times do |k|
        if (items[i].cost > j) or (1 > k)
          cost_matrix[i][j][k] = cost_matrix[i-1][j][k]
        else
          cost_matrix[i][j][k] = [
              cost_matrix[i-1][j][k],
              items[i].value + cost_matrix[i-1][j-items[i].cost][k-1]
            ].max
        end
      end
    end
  end
  cost_matrix
end

要找到解决方案（选择哪些项目），您需要查看网格cost_matrix[num_items-1][j][k]，查看j 和k 的所有值，并找到具有最大值的单元格。

找到获胜单元后，您需要向后追溯至起点 (i = j = k = 0)。在您检查的每个单元格上，您需要确定是否使用项目 i 到达此处。

def get_used_items(problem, cost_matrix)
  itemIndex = problem.items.size - 1
  currentCost = -1
  currentCount = -1
  marked = Array.new(cost_matrix.size, 0) 

  # Locate the cell with the maximum value
  bestValue = -1
  (problem.max_cost + 1).times do |j|
    (problem.count + 1).times do |k|
      value = cost_matrix[itemIndex][j][k]
      if (bestValue == -1) or (value > bestValue)
        currentCost = j
        currentCount = k
        bestValue = value
      end
    end
  end

  # Trace path back to the start
  while(itemIndex >= 0 && currentCost >= 0 && currentCount >= 0)
    if (itemIndex == 0 && cost_matrix[itemIndex][currentCost][currentCount] > 0) or
        (cost_matrix[itemIndex][currentCost][currentCount] != cost_matrix[itemIndex-1][currentCost][currentCount])
      marked[itemIndex] = 1
      currentCost -= problem.items[itemIndex].cost
      currentCount -= 1
    end
    itemIndex -= 1
  end
  marked
end

【讨论】：

谢谢，这有帮助。但是现在我在概念化如何遍历 cost_matrix 以返回使用过的项目列表时遇到了麻烦。你知道如何修改二维案例吗？

此解决方案实际上是否严格限制为 k 项目？也就是说，它只解决了最多k 个项目的约束。