查找函数的梯度：Sympy vs. Jax

Posted 2023-02-16

【中文标题】查找函数的梯度：Sympy vs. Jax

【英文标题】：Find gradient of a function: Sympy vs. Jax

【发布时间】：2020-08-03 01:46:09

【问题描述】：

我有一个函数Black_Cox() 调用其他函数，如下所示：

import numpy as np
from scipy import stats

# Parameters
D = 100
r = 0.05
γ = 0.1

# Normal CDF
N = lambda x: stats.norm.cdf(x)

H = lambda V, T, L, σ: np.exp(-r*T) * N( (np.log(V/L) + (r-0.5*σ**2)*T) / (σ*np.sqrt(T)) )

# Black-Scholes
def C_BS(V, K, T, σ):
    d1 = (np.log(V/K) + (r + 0.5*σ**2)*T ) / ( σ*np.sqrt(T) )
    d2 = d1 - σ*np.sqrt(T)
    return V*N(d1) - np.exp(-r*T)*K*N(d2)

def BL(V, T, D, L, σ):
    return L * H(V, T, L, σ) - L * (L/V)**(2*r/σ**2-1) * H(L**2/V, T, L, σ) \
              + C_BS(V, L, T, σ) - (L/V)**(2*r/σ**2-1) * C_BS(L**2/V, L, T, σ) \
              - C_BS(V, D, T, σ) + (L/V)**(2*r/σ**2-1) * C_BS(L**2/V, D, T, σ)

def Bb(V, T, C, γ, σ, a):
    b = (np.log(C/V) - γ*T) / σ
    μ = (r - a - 0.5*σ**2 - γ) / σ
    m = np.sqrt(μ**2 + 2*r)
    return C*np.exp(b*(μ-m)) * ( N((b-m*T)/np.sqrt(T)) + np.exp(2*m*b)*N((b+m*T)/np.sqrt(T)) )

def Black_Cox(V, T, C=160, σ=0.1, a=0):
    return np.exp(γ*T)*BL(V*np.exp(-γ*T), T, D*np.exp(-γ*T), C*np.exp(-γ*T), σ) + Bb(V, T, C, γ, σ, a)

我需要使用 Black_Cox 函数 w.r.t 的导数。 V。更准确地说，我需要在更改其他参数的数千条路径中评估此导数，找到导数并在某个 V 处进行评估。

最好的方法是什么？

我是否应该使用 sympy 来找到这个导数，然后在我选择的 V 上进行评估，就像我在 Mathematica 中所做的那样：D[BlackCox[V, 10, 100, 160], V] /. V -> 180，或者

我应该只使用jax吗？

如果sympy，你会如何建议我这样做？

对于jax，我了解我需要执行以下导入：

import jax.numpy as np
from jax.scipy import stats
from jax import grad

并在获得渐变之前重新评估我的功能：

func = lambda x: Black_Cox(x,10,160,0.1)
grad(func)(180.0)

如果我仍然需要使用 numpy 版本的函数，我是否必须为每个函数创建 2 个实例，或者是否有一种优雅的方法可以为 jax 目的复制函数？

【参考方案1】：

Jax 不提供任何内置方法来使用 numpy 和 scipy 的 jax 版本重新编译 numpy 函数。但是您可以使用如下所示的 sn-p 自动执行此操作：

import inspect
from functools import wraps
import numpy as np
import jax.numpy

def replace_globals(func, globals_):
  """Recompile a function with replaced global values."""
  namespace = func.__globals__.copy()
  namespace.update(globals_)
  source = inspect.getsource(func)
  exec(source, namespace)
  return wraps(func)(namespace[func.__name__])

它是这样工作的：

def numpy_func(N):
  return np.arange(N) ** 2

jax_func = replace_globals(numpy_func, "np": jax.numpy)

现在您可以评估 numpy 版本了：

numpy_func(10)
# array([ 0,  1,  4,  9, 16, 25, 36, 49, 64, 81])

以及 jax 版本：

jax_func(10)
# DeviceArray([ 0,  1,  4,  9, 16, 25, 36, 49, 64, 81], dtype=int32)

只需确保在包装更复杂的函数时替换所有相关的全局变量即可。