复杂性分析和递归关系

Posted 2023-02-22

【中文标题】复杂性分析和递归关系

【英文标题】：Complexity analyisis & recurrence relations

【发布时间】：2017-12-02 15:34:06

【问题描述】：

我正在尝试查找以下两个递归函数的复杂性，但不知道如何对递归函数进行复杂性分析

找到所有可能的子集

def subsetsHelper(self, nums, index, path, res):
    if path is None:
        return
    res.add(path)
    for i in range(index, len(nums)):
        self.subsetsHelper(nums, i + 1, path + [nums[i]], res)

def subsetsWithDup(self, nums):
    res = []
    self.subsetsHelper(nums, 0, [], res)
    return res

找到所有可能的排列

def permuteHelper(self, nums, index, path, res):
    if len(nums) == 0:
        res.append(path)

    for i in range(len(nums)):
        copy = list(nums)
        val = copy.pop(i)
        self.permuteHelper(copy, i, [val] + path, res)

def permute(self, nums):
    res = []
    self.permuteHelper(nums, 0,[], res)
    return res

还有，函数的递推关系是什么

【参考方案1】：

如果nums的长度为n，则第一种算法的时间复杂度关系为T(n) = T(n-1) + T(n-2) + ... + T(1) + 1。现在尝试通过展开方程来解决这个问题。

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + ... + T(1) + 1
T(n) = (T(n-2) + T(n-3) + ... + T(1) + 1) + T(n-2) + ... + T(1) + 1 
T(n) = 2T(n-2) + 2T(n-3) + ... + 2T(1) + 2
T(n) = 2(T(n-3) + T(n-4) + ... + T(1) + 1) + 2T(n-3)... + 2T(1) + 2  
T(n) = 2^2 T(n-3) + 2^2 T(n-4) + ... + 2^2T(1) + 2^2

因此，T(n) = O(2^n)。

正如评论中提到的，对于第二种算法，您在每次迭代中都有一个副本，并调用除一个之外的相同数组的函数。因此，T(n) = n * T(n-1) + n^2（n^2 是数组的n 副本，大小为n）。使用扩展，我们将有：

T(n) = n * T(n-1) + n^2
T(n) = n * ((n-1) * T(n-2) + (n-1)^2) + n^2
T(n) = n*(n-1) T(n-2) + n * (n-1)^2 + n^2
T(n) = n*(n-1) ((n-2) * T(n-3) + (n-2)^2) + n * (n-1)^2 + n^2
T(n) = n*(n-1)*(n-2)T(n-3) + n*(n-1)*(n-2)^2 + n * (n-1)^2 + n^2

因此T(n) = O((n + 1)!)。

【讨论】：

在第一个算法中，在该循环的每次迭代中，我们递增i，因此下一次递归调用中的迭代每次减少1。但是在该循环的每次迭代中的第二种算法中，长度保持不变。所以我应该像T(n) = n*T(n-1) + O(n^2)这样重复出现O(n!)（不确定这种重复出现的解决方案）。