如何找到距离等于 X 的两个向量的点

Posted 2023-02-21

【中文标题】如何找到距离等于 X 的两个向量的点

【英文标题】：How to find the points along two vectors where the distance is equal to X

【发布时间】：2016-07-05 22:15:26

【问题描述】：

所以我有以下问题让我感到困惑，我不知道该怎么做：

我有两个相交的向量。向量可以来自各种不同的角度，如下两张图：

交点也是已知的，它使用叉积计算，我从this 得到了它背后的数学。向量的起点和终点也是已知的。

现在我有一条长度为 X 的线，我想知道这条线在这两个向量之间的哪个位置完全吻合。然后从向量中知道这些点的坐标。我认为这张图片能更好地描述它：

当然，一条长度为 X 的线可以通过多种不同的方式拟合两个向量，例如以下两张图片显示了向量 A 和 B 之间线 X 的不同位置，其中线的长度相同，但位置和角度不同：

如果可能的话，我希望位置的差异由向量的长度决定。因此，如果向量 B 是向量 A 的 5 倍长，那么 S 到线与向量 B 相接触处的距离应该是 S 到线与向量 A 相接触处距离的 5 倍。如上右图所示S到直线与向量B相接处的距离远大于S到直线与向量A相接处的距离。

找出这条线的位置的最佳方法是什么？那么，线在向量 A 的哪个位置开始，在向量 B 的哪个位置结束？我想在 C++ 中实现这一点，但是计算两个向量上每个点之间的距离并检查这是否等于 X 似乎非常密集，并且对于浮点数是不可能的。

编辑：找到解决方案。下面我举一个小例子。

假设角度 c（矢量 A 和矢量 B 之间的角度）为 90 度。 比率为 1:2（因此 B 是 A 的两倍）。 最后边 C 是 30。

您要做的是为向量 A 和 B 的长度编一个数字。我使用this 站点发现的是，您是否在 A 和 B 边填写 4 和 8，或 8 和 16 或任何其他具有 1:2 比例的东西，角度 a 在所有情况下都是相同的，角度 b 也是如此。因此，要计算角度 a 和 b，只需使用例如 5 和 10。您首先要做的（或至少我是这样做的）是使用角度 c 计算边 C，使用以下公式计算边 A 和 B： sqrt(sideA * sideA + sideB * sideB - 2 * sideA * sideB * cos(degreesToRadian(angleC)));。请注意，这不是同一边 C 和给定的那一侧，而只是用于计算角度的一侧。

之后，您可以使用以下公式计算角度 a： radianToDegrees(acos((sideB * sideB + sideC * sideC - sideA * sideA) / (2 * sideB * sideC)))

现在您已经找到了角 a，您将拥有三角形中的所有角。因为您已经知道角度 c，所以您只需计算 a 和 b = 180 - a - c。最后要做的是使用角度 c 计算边 A 和边 B，使用以下公式计算角度 a 和给定边 C： sideB * sin(degreesToRadian(angleA)) / sin(degreesToRadian(angleB))

当您将它们放在一个函数中，该函数将其作为参数：（float angleC，float ratioB，float sideC）。在我们的例子中是 (90, 0.5, 30)。然后计算如下：

    float fakeSideA = 10;
    float fakeSideB = fakeSideA * ratioB;
    float fakeC = sqrt(fakeSideA * fakeSideA + fakeSideB * fakeSideB - 2 * fakeSideA * fakeSideB * cos(degreesToRadian(angleC)));

    float angleA = radianToDegrees(acos((fakeSideB * fakeSideB + fakeC * fakeC - fakeSideA * fakeSideA) / (2 * fakeSideB * fakeC)));
    float sideA = sideC * sin(degreesToRadian(angleA)) / sin(degreesToRadian(angleC));

    std::cout << "SideA: " << sideA << ", AngleA: " << angleA << ", SideC: " << sideC << ", AngleC: " << angleC << std::endl;`

输出应类似于：SideA: 26.8328, AngleA: 63.435, SideC: 30, AngleC: 90。哪个是对的。知道 sideA 是 S 与长度为 X 的直线与向量 A 接触的位置之间的长度，您就可以计算出它的坐标。

【问题讨论】：

"这条线应该是向量 B 的 5 倍" 这是什么意思？

@Rakete1111 S 和直线接触向量 B 的距离应该是 S 和直线接触向量 A 的距离的五倍。我希望能更好地解释它，我'将在其中进行编辑。

有道理，谢谢:)

你的意思是你有两条线，或线段在一点相交？向量没有相交的概念。

圈子有用吗？一个圆圈是所有点所在的位置，它们之间的距离是恒定的。

【参考方案1】：

您可以使用law of cosines。

Here is an illustration of applying this to your problem.

然后你应该做的是注意向量 A 与向量 B 的大小之比允许你从图片中的 a 转换为 b。从那里，C 是已知的，A = 180 度 - C - B。

您有六个变量，a b c A B C，两个约束（A = 180 - C - B 和 a = ratio*b），以及一个 C 形式的常数。

您现在可以为 a 或 b、A 或 B 或 c 这三个中的两个选择值。使用正弦定律将此变量等同于其各自的伙伴。这样做会给您留下一个未知数，您可以使用 wolfram 页面上的相应公式来求解（或者自己从页面上的公式之一推导出来）。

编辑：另请注意，您需要将从这些公式中找到的角度转换/映射到原始方向/坐标系。

【讨论】：

我想我在这里遗漏了一些东西，但我似乎无法将其缩小到一个未知数。我现在有“b^2 = (ratio * b)^2 + c^2 - 2 * (ratio * b) * c * cos(180 - A - C)”。 c 是我知道长度的线，角度 C 是可计算的，给我留下了未知数 b 和 A。不知道如何从这里开始。

你从 a b c A B C 开始。你知道 c 和 C。你现在需要 a b A B。b = a / ratio。 B = 180 - C - A。正如你所说，你现在需要 b 和 A。由于单个公式有两个未知数，这意味着您有可能答案的无限组合。因此，为 b 或 A 选择一个值（我会选择一个具有一定意义的值，但您可以选择一个随机值）并使用它来解决最终的未知数。基本上，由于您有两个未知数和一个公式，您的系统定义不足，您需要定义另一个变量来求解系统。

对不起，我真的不明白。如果我只是填写一个随机值，最终的未知数总是不同的，90% 的时间它甚至无法计算，所以我真的很困惑，因为它不应该不同，对吧？

你能告诉我，如果比率是 2（意味着 b 是 a 的两倍），C 是 90 度，c 是 32，那么这些值是如何计算的？

我们需要在您的示例中找到 b 或 A。为此，我会使用law of sines（尽管我确信还有其他方法）。这表明 c/sinC = b/sinB = a/sinA。您知道 c 和 C。因此，请注意 b=2a，并且 a=sinA *c/sinC。我们现在只需要找到一个未知数：A 的值。当我们找到 A 时，我们将获得 B 的值（即 180-C-A）和 a（之前看到的）和 b（b=2a）的值。诀窍是承认你正在用你的约束做一个三角形。

【参考方案2】：

让我们给定线段A，线段B，交点S 求A和B的归一化方向向量（可能在计算交点的时候已经找到了）

dA = (A1.X - A0.X, A1.Y - A0.Y) / 长度(A)dB强> = (B1.X - B0.X, B1.Y - B0.Y) / 长度(B)

和比率kBA

kBA = 长度(B) / 长度(A)

位于 B 上的新段的末尾应该距离 S 多 kBA 倍

EA = S - t * dAEB = S - t * kBA * dB

现在写出EA-EB段长度的方程，

 LenX^2 = (EA.X - EB.X)^2 + (EA.Y - EB.Y)^2

求解未知参数 t，并找到点 EA 和 EB（如果存在解，并且它们确实存在于 A 和 B 段的范围内）

Denom = (kBA * dB.x - dA.x)^2 + (kBA * dB.y - dA.y)^2
if Denom = 0 then segments are parallel and there is no solution
else
t = +/- sqrt(Len^2 / Denom) 

finally 
EA.X = S.X - t * dA.X
and so on...

【讨论】：

我认为应该是 EB = S - t * kBA * dB （不是 dA)，最后一个等式归结为 t = sqrt(Len^2 / ((kBA * dB.x - dA.x)^2 + (kBA * dB.y - dA.y)^2)) ，如果我没有错过某个步骤...

对于 dB - 是的，复制过去错误。对于最后一个方程 - 是的，一切都是正确的（+- 解是可能的，平行线的除数为零）

这里的未知数比 t 多得多； EA 是两个数字 (x, y) 而不是一个，对于 EB 也是如此；所以你需要把这个细节化，否则它是一个无法解决的系统

@gpasch 你说的不对。 t 是唯一的未知数。 EA.X 和 EA.Y 都通过已知坐标和 t 表示

显然你的表述有一些谬误；您建议只有两个位置适合该段；那不是真的；我觉得谬误在于您将归一化的 dA 与未归一化的 S 混合在一起