如何查询 Voronoi 图？

Posted 2023-02-21

【中文标题】如何查询 Voronoi 图？

【英文标题】：How to query a Voronoi diagram?

【发布时间】：2020-08-02 07:35:50

【问题描述】：

我正在使用boost 计算二维中一组点的voronoi 图，非常简单；

std::vector<Point> points;
...
voronoi_diagram<double> vd;
construct_voronoi(points.begin(), points.end(), &vd);

是否有一种算法来处理生成的多边形，以便查询“给定点属于哪个站点？” 可以在恒定时间内回答？换句话说，给定点位于一组多边形中的哪个多边形中？

当然可以计算并比较给定点与现有点的距离，但这需要 O(n) 时间，并且没有利用 Voronoi 图中编码的信息。

【参考方案1】：

问题“给定点属于哪个站点？”只是说明nearest neighbor search 问题的另一种方式：相关的 Voronoi 多边形是与生成 Voronoi 图的集合中最近点相关联的多边形。不幸的是，

没有任何恒定时间算法可以解决这个问题，并且 Voronoi 图没有比 O(N) 搜索更快地解决问题。

如果你需要在 Voronoi 图中定位很多点，你可以构建一个搜索树，通常可以获得 O(log N) 的性能。 this question 的答案是在 python 中构建一个 k-d tree 来执行查询。在 boost 中，您可以为此目的使用现有的R-tree。

有一种方法可以基于 Voronoi 图（Delaunay hierarchy）构建搜索树。如果您还使用它来构建 Voronoi 图，它可能会提供一些 minor benefits。但是没有像通用搜索问题那样容易获得的优化库。

【讨论】：

我仍在研究这个问题，也许你对具有无限平面的连续空间是正确的，但是在离散空间中，可以只用指向最近点的索引为图表着色。这显然是一个恒定时间查找算法。