在彩色图中查找具有单个不同颜色边的循环

Posted 2023-02-21

【中文标题】在彩色图中查找具有单个不同颜色边的循环

【英文标题】：Finding cycles with a single differently colored edge in a colored graph

【发布时间】：2021-04-24 17:46:27

【问题描述】：

给定一个边缘上带有红色/蓝色颜色的一般无向图，我希望能够检测到图中恰好包含一个蓝色边缘的所有循环。有没有已知的算法？

我知道如何使用 DFS 方法检测一般图中的循环，并且一旦找到循环，我就可以通过回溯和计数蓝色边的数量来检测单蓝色边循环，但是这个解决方案会据我所知，导致边缘二次时间复杂度。有什么更好的吗？

【问题讨论】：

@DavidEisenstat 抱歉，未指定。编辑了我的问题。

下一个问题：这样的循环可能是指数级的。您是否要枚举所有这些？或者，一个循环中出现的每个蓝色边缘可能就足够了。

对于我的特定用途，找到一个这样的循环就足够了，因为我将终止算法的其余部分。

【参考方案1】：

要检测是否存在恰好有一条蓝色边的环，请找到由红色边组成的子图的连通分量。对于每个蓝色边缘，测试其端点是否位于相同的红色连通分量中。如果是这样，那么就有这样一个循环，由蓝色边和它的端点之间的路径在 DFS 指定为树边的边的生成森林中形成。

反过来，假设有这样一个循环。循环的红色部分确保蓝色边缘的端点属于同一个组件。

【讨论】：

非常酷，并且像魅力一样工作。谢谢！