计算阶乘的快速算法

Posted 2023-02-19

【中文标题】计算阶乘的快速算法

【英文标题】：Fast algorithms for computing the factorial

【发布时间】：2010-12-17 14:30:11

【问题描述】：

我发现this page 描述了一些计算阶乘的算法。不幸的是，解释很简洁，我不想逐行筛选源代码来理解算法背后的基本原理。

谁能指出我对这些（或其他快速）计算阶乘算法的更详细描述？

编辑：This page 描述了素数分解方法，这是所有性能最佳的阶乘算法所共有的技术。它还包含一些不错的 Python 示例代码。作者链接到 a description of binary splitting 并引用了 Journal of Algorithms 中的一篇文章（“On the Complexity of Calculating Factorials”），如果我能得到它的话，看起来很有希望。

【问题讨论】：

如果你的阶乘很大，并且你想要一个近似值，不要忘记斯特林的近似值。我注意到该页面中没有提到它。 en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation

@Rooke：我正在寻找精确计算大阶乘......也许我应该在我的问题中更清楚。不过感谢您的建议！

你也可以试试我的Fast exact bigint factorial

【参考方案1】：

查看 Richard Fateman 的 paper (PDF link)。代码示例在 Lisp 中，但无论如何，大部分秘密归结为最小化您必须执行的 bignum（任意精度整数）计算的数量。

当然，如果您不需要/没有 bignums，那是微不足道的；查找表或简单的循环都可以。

编辑：如果您可以使用近似答案，您可以通过将log(k) 与k = 2 ... n 相加或使用古老的Stirling approximation 直接计算阶乘的对数。您希望尽可能使用对数以避免溢出；特别是，斯特林近似的幼稚应用会在很多不需要的地方溢出。

【讨论】：

+1：那篇论文很有帮助（虽然我的 Lisp 有点生疏）。不幸的是，看起来 Luschny 是更复杂算法的首选人，所以我可能无法阅读他的源代码。

【参考方案2】：

还有另一种方法。此方法详细here 将乘法量减半，只需一点点加法和减法。您可能希望显示第一种方法，如果您能理解，显示的第二种方法很有趣。

【参考方案3】：

十多年后，我想提供一种 Python 方法，其灵感来自于您对乘法 factorial(n) * n+1 感兴趣，基本情况是 0 和 1，其结果是 1，那么：

def fact_var(num):
    a, b, i = 1,2,2 # base cases and our i counter.
    while i < num: # if i is equal to num, we're done, last product will be at return.
        c = a * b # start to multiply and save in c.
        i+=1 # add 1 to i because we want to multiply next number with c (in the next iteration).
        a, b = c, i # update variables to the next iteration.
    return a * b if num > 1 else 1 # last product occurs here is num is greater than 1.

print(fact_var(100000))

对于 100 000 的阶乘，它在我的机器中最多需要 5 秒，我希望它能够为文档和即将到来的观众服务！

附言。同样的想法对计算斐波那契很有用，它是求和而不是乘法。