将 AVL 树转换为红黑树

Posted 2023-02-19

【中文标题】将 AVL 树转换为红黑树

【英文标题】：Convert AVL Trees to Red Black tree

【发布时间】：2016-03-18 03:38:22

【问题描述】：

我在某处读到此声明，任何 AVL 树 T 的节点都可以被着色为“红色”和“黑色”，这样 T 就变成了红黑树。

这个陈述似乎很有说服力，但我不明白如何正式证明这个陈述。

根据wiki，一棵红黑树应该满足这五个属性：

a.一个节点不是红色就是黑色。

b.根是黑色的。这条规则有时会被省略。由于根总是可以从红色变为黑色，但不一定反过来，

c。所有叶子 (NIL) 都是黑色的。

d.如果一个节点是红色的，那么它的两个子节点都是黑色的。

e.从给定节点到其任何后代 NIL 节点的每条路径都包含相同数量的黑色节点。

四个条件很简单，我卡住了如何证明语句5

【参考方案1】：

首先，定义树的高度（用于 AVL 树）：

height(leaf) = 1
height(node) = 1 + max(height(node.left), height(node.right))

此外，定义路径的深度（如用于红黑树，路径是从给定节点到某个叶子的后代链）到是路径上的黑色节点数。

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正如您所指出的，将 AVL 树着色为红黑树的棘手之处在于确保每条路径都具有相同的深度。您将需要使用 AVL 不变量：任何给定节点的子树的高度最多只能相差一个。

直观地说，诀窍是使用一种着色算法，其深度对于给定的高度是可预测的，这样您就不需要进行任何进一步的全局协调。然后，您可以局部调整着色，以确保每个节点的子节点具有相同的深度；这是可能的，因为 AVL 条件严格限制了它们的高度差。

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这种树着色算法可以解决问题：

color_black(x):
  x.color = black;
  if x is a node:
    color_children(x.left, x.right)

color_red(x):  // height(x) must be even
  x.color = red
  color_children(x.left, x.right)  // x will always be a node

color_children(a,b):
  if height(a) < height(b) or height(a) is odd:
    color_black(a)
  else:
    color_red(a)
  if height(b) < height(a) or height(b) is odd:
    color_black(b)
  else:
    color_red(b)

对于 AVL 树的根，调用color_black(root) 以确保 b. 请注意，树是按深度优先顺序遍历的，同时也确保了一个。

请注意，红色节点的高度都是均匀的。叶子的高度为 1，因此它们将被着色为黑色，确保 c。红色节点的子节点要么有奇数高度，要么比他们的兄弟节点矮，并且将被标记为黑色，以确保 d。

最后，显示 e。 （来自根的所有路径都具有相同的深度）， 在n>=1 上使用归纳法来证明：

为奇数height = 2*n-1, color_black() 创建一个红黑树，深度为n 即使height = 2*n， color_red() 将所有路径设置为深度n color_black() 创建深度为n+1 的红黑树

基本情况，对于n = 1：

对于奇数height = 1，树是叶子； color_black() 将叶子设置为黑色；唯一路径的深度为 1， 对于偶height = 2，根是一个节点，两个孩子都是叶子，如上标记为黑色； color_red() 将节点设置为红色；两条路径的深度均为 1 color_black() 将节点设置为黑色；两条路径的深度均为 2

归纳步骤是我们使用 AVL 不变量的地方：兄弟树的高度最多可以相差 1。对于具有给定 height 的节点：

子案例A：两个子树都是(height-1) 子案例B：一个子树是(height-1)，另一个是(height-2)

归纳步骤：假设n 为真，证明它适用于n+1：

对于奇数height = 2*(n+1)-1 = 2*n+1，

子案例A：两个子树的高度相等2*n color_children() 为两个孩子调用 color_red()， 通过归纳假设，两个孩子都有深度n 对于父节点，color_black() 添加一个黑色节点，对于深度n+1 子案例 B：子树的高度为 2*n 和 2*n-1 color_children() 分别调用 color_red() 和 color_black()； 对于均匀高度2*n，color_red() 产生深度n（感应炒作） 对于奇数高度2*n-1，color_black() 产生深度n（感应炒作） 对于父节点，color_black() 添加一个黑色节点，对于深度n+1

甚至height = 2*(n+1) = 2*n + 2

子案例A：两个子树的高度都是奇数2*n+1 = 2*(n+1)-1 color_children() 为两个孩子调用 color_black() 以获取深度 n+1 从上面奇高的情况下，两个孩子都有深度n+1 对于父节点，color_red() 添加一个红色节点，深度不变n+1 对于父节点，color_black() 添加一个黑色节点，对于深度n+2 子案例 B：子树的高度为 2*n+1 = 2*(n+1)-1 和 2*n color_children() 为两个孩子调用 color_black() 以获取深度 n+1 对于奇数高度2*n+1，color_black() 产生深度n+1（见上文） 对于均匀高度2*n，color_black() 产生深度n+1（感应炒作） 对于父节点，color_red() 添加一个红色节点，对于深度n+1 对于父节点，color_black() 添加一个黑色节点，对于深度n+2 = (n+1)+1

【参考方案2】：

好吧，#5 的简单情况是单个后代，它是一片叶子，在 #3 之前它是黑色的。

否则，后代节点为红色，到#4时要求有2个黑色后代。

然后这两种情况递归地应用于每个节点，因此您将始终在每条路径中拥有相同数量的黑色节点。

【讨论】：

你在哪里使用 AVL 不变量？

@comingstorm - OP 不需要知道如何 转换

【参考方案3】：

即使可以将AVL树转换为红黑树，代价也是非常大的。树的形状与内部结构无关，需要彻底重建。

红黑树的最大局部高差界限为2。