在加权图中找到最短路径

Posted 2023-02-19

【中文标题】在加权图中找到最短路径

【英文标题】：finding shortest path in a weighted graph

【发布时间】：2016-06-25 09:31:40

【问题描述】：

给出的图表是城市以及航空和道路成本作为每对城市之间的边权重。我们需要找到最小值。考虑到我最多只能通过一次航空旅行，从源城市到目的地城市的旅行成本。

到目前为止我的方法：选择每个航路边缘一次，然后仅在道路边缘将 dijkstra 应用于剩余图形。有什么办法可以改善吗？

【问题讨论】：

我认为您的解决方案很好，可能没有更有效的方法。

【参考方案1】：

如果您可以计算两个城市之间的直线距离，则可以使用 A* 代替 Dijkstra，使用该距离函数作为启发式。与 Dijkstra 相比，您肯定会扩展更少的节点。

关于航路，你的方法听起来不错。

【参考方案2】：

构造一个有向图(G, E)如下：

设X为源城市，Y为目标城市。

对于除X 之外的每个城市C，构造两个顶点：(C, yes) 和(C, no)，其中“yes”表示“使用飞机”，“no”表示“未使用飞机”。对于源城市X，只构造一个顶点(X, no)。

边缘如下：

从任何(C, yes) 到任何(D, no) 都没有边。 从(C, yes) 到(D, yes)（分别是(C, no) 到(D, no)）有一条边当且仅当C 和D 之间有道路，并且这条边的权重是道路重量。 从(C, no) 到(D, yes) 有一条边当且仅当C 和D 之间有气道，并且这条边的权重就是气道的权重。

现在，只需在图形G 中找到从(X, no) 到(Y, yes)（分别到(Y, no)）的最短路径，这是仅使用一个气道（分别是不使用气道）的最低成本。这两个中的最小值将是最终答案。

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复杂度将是有向图(G, E) 的最短路径问题的复杂度，它（最大 O 常数）与原始图具有相同数量的顶点和边。

根据this wiki page，这个问题可以在O(E+VloglogV)时间解决。为了简单起见，您当然可以使用 Dijkstra。

【参考方案3】：

按照以下方式创建一个辅助有向图G'。

对于主图 G 中的每个城市 V，将两个城市 V' 和 V'' 添加到 G'。

为 G 中的每条道路 VW 添加四个单向道路 V'W'、W'V'、V''W''、W''V'' 到 G'。

为 G 中的每个空中连接 VW 添加两个单向连接 V'W'' 和 W'V'' 到 G'。

生成的图被定向并划分为两个子图，因此您只能从第一个子图乘飞机前往第二个子图，而不能返回。这确保您可以使用空气，例如最多一次。

您可以在 G' 上运行 Dijkstra 算法。现在，G 中 S 和 T 之间的最短路径将对应于 G' 中两条路径中较短的一条：一条在 S' 和 T' 之间（仅限地面），另一条在 S' 和 T'' 之间（正好是一次空中传输）。