为啥图论中的最大流算法对于最大二分匹配是正确的

Posted 2023-02-19

【中文标题】为啥图论中的最大流算法对于最大二分匹配是正确的

【英文标题】：Why is max flow algorithm in graph theory correct for maximal bipartite matching为什么图论中的最大流算法对于最大二分匹配是正确的

【发布时间】：2021-09-08 02:20:41

【问题描述】：

我读过很多文章，说明可以使用最大流算法找到二分图的最大匹配。但是有可能我们从最大流中得到的匹配不是最大的，或者匹配没有最大边。

Anti Laaksonen 的 Competitive Programming Handbook 示例：

但是如果我以不同的方式呈现图表，那么现在的图表是：

然后随着最大流量算法的进行，匹配将是 1----5, 2----7

因为 1 只是擦除了通往水槽的路径，但如果它会走到边缘 1----6 那么匹配可能是

1----6, 3----5, 4----7

【参考方案1】：

到目前为止，我一直和你在一起：

然后随着最大流量算法的进行，匹配将是 1----5, 2----7

您在此处描述的实际上并不是图中的最大流量。我们可以通过发送一个从 1 到 6 的流量单位、一个从 2 到 7 的流量单位以及从 3 到 5 的一个流量单位来推动更多流量。

阅读您的问题，我认为您最终得到（非最大）流量而不是最大流量的原因是因为以下陈述：

因为 1 只是删除了到 sink 的路径

根据您在此处的描述，我假设您正在使用 Ford-Fulkerson 算法之类的算法来计算最大流量：找到从源到汇的增广路径，然后将流量推过它。但是 Ford-Fulkerson 在这里还有第二步：在推动流越过一条边之后，我们在推动的流的相反方向上引入一个 residual 边。如果我们找到更好的路径，这让我们有机会“撤销”我们所做的决定。

因此，在我们从 1 到 5 推动一个流量单位后，我们将一个剩余边从 5 添加回 1，并具有单个容量单位。这意味着图表现在看起来像这样：

这里，蓝绿色的边缘从 s 流向 t，紫色的边缘从 t 流向 s。

请注意，我们可以“撤销”我们将 1 分配到 5 的决定，如下所示。在路径上推一个单位流

s → 3 → 5 → 1 → 6 → t

给这个流网络：

现在，在路径上再推一个单位流

s → 2 → 7 → t

给出整体匹配 1 -- 6, 2 -- 7, 3 -- 5，这是最大匹配。

【讨论】：

我的疑问现在很清楚了。顺便说一句，这是我们在图中添加反向边以实现最大流量的唯一原因，还是还有其他隐藏的意图？我过去只是为了算法而添加反向的，但现在我理解了它们的目的。

Ford-Fulkerson 算法会添加这些反向边缘，以确保它找到最大流量。残差图也用于最大流/最小割定理的数学证明。但是如果你把max-flow当成一个黑盒子（一个图进去，max flow出来，你不关心算法的内部操作是什么）那么你就不用担心了残余边缘。

没有。请详细说明您对算法的见解。我正在攻读计算机科学学士学位。这对我会有帮助。

剩余边对几乎任何 s-t 定向最大流算法都至关重要，它们编码所谓的“部分最优”解决方案。如果不使用它们，您将无法证明最大流算法收敛到正确答案。