T(n) = 2T(n/2) + n lg lg n 的渐近上限和下限是多少？

Posted 2023-02-19

【中文标题】T(n) = 2T(n/2) + n lg lg n 的渐近上限和下限是多少？

【英文标题】：What are the asymptotic upper and lower bounds for T(n) = 2T(n/2) + n lg lg n?

【发布时间】：2011-06-14 12:38:57

【问题描述】：

递归关系

T(n) = 2T(n/2) + n lg lg n

（其中 lg 是以 2 为底的对数）可以使用 master theorem 解决，但我不太确定答案。我找到了我的答案，但为了防止信息级联，我没有在这里提及。请帮我找到上面的大 O 和 Ω。

【问题讨论】：

我认为你最好做发表你自己的想法，现在看起来你只是逐字地提出你的作业而没有自己做任何事情。顺便说一句，nlglgn 应该是什么？

@Bart 提到的意思是“不仅要发布结果，还要发布你的推理”。不要害怕犯错，因为这比懒惰要好得多，而且也不在乎影响他人，因为这里的很多人都是影响老板的冠军，并且知道这个行业。

猜测一下，nlglgn 应该是 n * log (log(n))

@borrible，是的，你很可能是正确的，但如果 OP 更清楚地表达他/她自己，这并没有什么坏处。

嗨，很抱歉有歧义。 lg n 表示底数为 2。此外，我得到以下内容：big O (n^2) 和 omega is nlog(base10)n 。

【参考方案1】：

主定理中的 3 种情况都不适用

T(n)=2 T(n/2) + n log(log n)

（任意基数都无所谓）

案例 1：f(n)=n log(log n) 比 n“大”^{log2 2}=n¹

案例2：f(n)不适合n log^k(n)

情况3：f(n)小于n^1+e

U(n)=2 U(n/2) + n log n
L(n)=2 L(n/2) + n

您可以证明：U(n) >= T(n) 和 L(n) <= T(n)。所以 U 给出了 T 的上限，L 给出了 T 的下限。

对 U(n) 应用主定理，得到

案例 2：f(n)=n log n=Θ(n¹ log¹ n) 因此 U(n)=Θ(n log ² n)

对 L(n) 应用主定理，得到

案例 2：f(n)=n =Θ(n¹ log⁰ n) 因此 L(n)=Θ(n log n)

因为L(n)<=T(n)<=U(n) 所以 T(n)=O(n log² n) 和 T(n)=Ω(n log n)

另外，请注意 O(log₂n)=O((log n)/log 2)=O((log n) * c)=O(log n)。