在大小为 N 的数组的每 k 个元素中查找最小和第二小的元素

Posted 2023-02-19

【中文标题】在大小为 N 的数组的每 k 个元素中查找最小和第二小的元素

【英文标题】：Find smallest & second smallest element in every k elements of an array with size N

【发布时间】：2015-12-02 05:41:21

【问题描述】：

我试图在 N 大小的数组的 k 个元素中找到最小和第二小的元素（没有排序和最小/最大堆）。

使用传统方法首先从0th 元素开始，在第一个k 元素中找到最小和第二小的元素，然后将起点移动1 并重复该过程。但它的复杂性是O(Nk)。如果可能的话，我需要一个复杂的解决方案O(N)。对此有何建议？

在 Jubobs 的评论之后编辑：例如如果说数组是12, 1, 78, 90, 57, 89, 56 和k 是3，那么对于第一个k 元素(12, 1, 78) 最小元素将是1，第二个最小元素将是12。对于第二个k 元素(1, 78, 90)，最小的元素将是1，第二小的元素将是78，依此类推。

以下是我用O(Nk)复杂度写的sn-p代码：

int j=0;
while(j < input.length-k+1) 
    int i=j;
    for(i=j; i < j+k; i++) 
        if(input[i] < min) 
            min2 = min;
            min = input[i];
         else if(input[i] > min && input[i] < min2) 
            min2 = input[i];    
                           
    

【问题讨论】：

这与只获取最小值（或最大值）并没有太大的不同，后者被问了很多次。

在哪里推广j，如果结果是整个数组的min和min2，为什么还需要K？

看***.com/questions/8031939/…中的动态规划解法

【参考方案1】：

您可以使用保持排序的deque。

在每一步，如果双端队列中的第一个元素 (d.front.index) 相对于当前步骤早于 k 步骤，则将其弹出 (d.popFront())。

然后，当数组中当前位置的元素小于双端队列中的最后一个元素（d.back.value）时，从双端队列中弹出元素（d.popBack()）。

最后，将当前值添加到双端队列的末尾 (d.pushBack())。

在每一步，d.front.value 将是[step - k + 1, step] 的最小值。

您可以将双端队列存储为大小为k 的链表。然后您将始终可以访问其中的第二个元素，这将是[step - k + 1, step] 中的第二小元素。如果由于弹出每个元素而最终只有一个元素，则必须小心。在这种情况下，弹出的可能是未来查询的第二小。您可以将它们保存在另一个列表中，与双端队列类似，请参见下面的示例。

这是O(n) amortized，因为数组中的每个元素最多会进入和离开双端队列一次。它可能看起来像O(nk)，因为你会有一些嵌套循环，但如果你考虑一下操作的总数，你会发现它实际上是O(n)。

伪代码

for i = 0, i < n:
    if not d.empty and i - d.front.index >= k:
      d.popFront()
    while not d.empty and d.back.value > a[i]:
      d.popBack()

    d.pushBack(index = i, value = a[i])

    output d.front.value as the minimum value in [i - k + 1, i]

跟踪第二个最小值的代码留作练习。

你的例子：

a = 12, 1, 78, 90, 57, 89, 56, k = 3

d = 12
d = 1 (12 popped, track this)
d = 1, 78 => we have to output smallest and second smallest in [0, 2].
            => smallest is always the first in the deque, so 1
            => second = min(12 [this was popped], 78) = 12
d = 1, 78, 90)
            => smallest 1, second is 78 (12 is too old now)
d = 57
            => 1 popped for being too old, the others for being too large
            => smallest = 57, second = 78 (last popped)
d = 57, 89
            => smallest = 57, second = 89
d = 56
            => smallest = 56, second = 57

基本上，您保留第二小的数组。这将包含尚未太旧的弹出值。这些也将按降序排序。

此方法的示例运行，其中d2 是第二个数组：

a = 12, 1, 78, 90, 57, 89, 56 

d = 12,           d2 = 
d = 1,            d2 = 12
d = 1, 78,        d2 = 12
  => output 1, 12
d = 1, 78, 90,    d2 =  - 12 was too old
  => output 1, 78
d = 57            d2 = 90, 78
  => output 57, 78
d = 57, 89        d2 = 90 - 78 too old
  => output 57, 89 (if we had 91 instead of 89, we'd have output the 90 in d2)
d = 56            d2 = 89, 57
  => output 56, 57

【讨论】：

您没有计算算法中保持排序的部分

@FrankM 我是。您通过推送/弹出操作对它们进行排序，而不是通过应用排序算法，所以它是O(n)。

感谢 IVIad。这有帮助。 :)