从clipspace.xyz 和（inv）投影矩阵计算clipspace.w

Posted 2023-02-19

【中文标题】从clipspace.xyz 和（inv）投影矩阵计算clipspace.w

【英文标题】：Calculate clipspace.w from clipspace.xyz and (inv) projection matrix

【发布时间】：2013-01-09 12:31:47

【问题描述】：

我正在使用对数深度算法，这会导致 someFunc(clipspace.z) 被写入深度缓冲区并且没有隐式透视除法。

我正在做 RTT / 后处理，所以稍后在片段着色器中我想重新计算 eyespace.xyz，给定 ndc.xy（来自片段坐标）和 clipspace.z（来自 someFuncInv() 中存储的值深度缓冲区）。

请注意，我没有 clipspace.w，并且我存储的值不是 clipspace.z / clipspace.w（就像使用固定函数深度时一样） - 所以类似于 ...

float clip_z = ...; /* [-1 .. +1] */
vec2 ndc = vec2(FragCoord.xy / viewport * 2.0 - 1.0);
vec4 clipspace = InvProjMatrix * vec4(ndc, clip_z, 1.0));
clipspace /= clipspace.w;

...在这里不起作用。

那么，给定投影矩阵或它的逆矩阵，有没有办法从clipspace.xyz 中计算clipspace.w？

【问题讨论】：

我们不会在我们的问题中提供答案。如果您想与他人分享您的解决方案代码，您可以写下您的问题的答案并将其放在那里。

【参考方案1】：

clipspace.xy = FragCoord.xy / viewport * 2.0 - 1.0;

这在命名方面是错误的。 “剪辑空间”是顶点着色器（或任何最后一个顶点处理阶段）输出的空间。剪辑空间和窗口空间之间是标准化设备坐标 (NDC) 空间。 NDC空间是裁剪空间除以裁剪空间W坐标：

vec3 ndcspace = clipspace.xyz / clipspace.w;

所以第一步就是取我们的窗口空间坐标，得到NDC空间坐标。这很容易：

vec3 ndcspace = vec3(FragCoord.xy / viewport * 2.0 - 1.0, depth);

现在，我将假设您的 depth 值是正确的 NDC 空间深度。我假设您从深度纹理中获取值，然后使用它渲染的深度范围近/远值将其映射到 [-1, 1] 范围。如果你没有，你应该这样做。

那么，既然我们有了ndcspace，我们如何计算clipspace？嗯，这很明显：

vec4 clipspace = vec4(ndcspace * clipspace.w, clipspace.w);

很明显而且...没有帮助，因为我们没有clipspace.w。那么我们如何获得呢？

要得到这个，我们需要看看clipspace 第一次是如何计算的：

vec4 clipspace = Proj * cameraspace;

这意味着clipspace.w 是通过获取cameraspace 并通过Proj 的第四行进行点积计算得出的。

嗯，这不是很有帮助。如果我们实际查看Proj 的第四行，它会更有帮助。当然，您可以使用任何投影矩阵，如果您不使用典型的投影矩阵，这种计算会变得更加困难（可能是不可能的）。

Proj的第四行，使用典型的投影矩阵，真的就是这样：

[0, 0, -1, 0]

这意味着clipspace.w 实际上只是-cameraspace.z。这对我们有什么帮助？

记住这一点会有所帮助：

ndcspace.z = clipspace.z / clipspace.w;
ndcspace.z = clipspace.z / -cameraspace.z;

嗯，这很好，但它只是将一个未知数换成了另一个未知数；我们仍然有一个包含两个未知数的方程（clipspace.z 和 cameraspace.z）。但是，我们确实知道其他事情：clipspace.z 来自于对我们投影矩阵的 第三 行进行点积 cameraspace。传统投影矩阵的第三行是这样的：

[0, 0, T1, T2]

其中 T1 和 T2 是非零数字。我们暂时忽略这些数字。因此，clipspace.z 实际上只是 T1 * cameraspace.z + T2 * cameraspace.w。如果我们知道cameraspace.w 是 1.0（通常是这样），那么我们可以删除它：

ndcspace.z = (T1 * cameraspace.z + T2) / -cameraspace.z;

所以，我们仍然有一个问题。事实上，我们没有。为什么？因为在这个euqation中只有一个未知数。请记住：我们已经知道ndcspace.z。因此我们可以使用 ndcspace.z 来计算cameraspace.z：

ndcspace.z = -T1 + (-T2 / cameraspace.z);
ndcspace.z + T1 = -T2 / cameraspace.z;
cameraspace.z = -T2 / (ndcspace.z + T1);

T1 和 T2 直接来自我们的投影矩阵（场景最初渲染的那个）。我们已经有了ndcspace.z。所以我们可以计算cameraspace.z。我们知道：

clispace.w = -cameraspace.z;

因此，我们可以这样做：

vec4 clipspace = vec4(ndcspace * clipspace.w, clipspace.w);

显然你需要一个浮点数来表示clipspace.w 而不是文字代码，但你明白我的意思。一旦你有了clipspace，为了获得相机空间，你乘以逆投影矩阵：

vec4 cameraspace = InvProj * clipspace;

【讨论】：

非常感谢您的详细解释（我根据您的评论修正了我的变量名称）。你的帖子完全反映了我的思路——我强烈认为投影矩阵是“正常的”允许重构 w（只要原始向量是齐次的）——但这只是直觉，我应该写下点积意识到这一点......我还没有真正尝试过（我刚刚看到你的回复）但它非常有意义，所以我认为我的问题已经解决了。再次感谢。 :-)

记录在案 - 从我昨天问我的问题到今天在这里找到答案，有人写了这个页面上的第二部分 opengl.org/wiki/Compute_eye_space_from_window_space 处理这个话题......这不完全是我的问题，但数学非常接近。