如果使用 Python 已知矩阵元素的范围，如何获得符号矩阵的数值特征向量？

Posted 2023-02-18

【中文标题】如果使用 Python 已知矩阵元素的范围，如何获得符号矩阵的数值特征向量？

【英文标题】：How to obtain numerical eigenvectors of a symbolic matrix provided the ranges of the matrix elements are known using Python?

【发布时间】：2022-01-14 05:16:25

【问题描述】：

我有一个 2 x 2 符号矩阵 M = Matrix([[a, b],[c, d]]) ，其中元素 a,b,c,d 的数值范围是已知的。 python中是否有已知的数值方法可以返回M的特征值和特征向量的范围？

我是 python 新手，所以我尝试使用 sympy.diagonalize() 方法P, D = M.diagonalize()，但似乎只有在元素固定（而不是范围）时才有效。 这是一个示例代码：

from sympy import *
a, b, c, d = symbols('a b c d')
M = Matrix([[a, b],[c, d]])
#The ranges of the elements
a_min = 1
a_max = 4     

b_min = 0.5
b_max = 7

c_min = -1
c_max = 1

d_min = -1
d_max = 1

for a in linspace(a_min,a_max,5):
    for b in linspace(b_min,b_max,5):
        for c in linspace(c_min,c_max,5):
            for d in linspace(d_min,d_max,5):
                P, D = M.diagonalize() 
print(P)
print(D)

有没有办法通过每个元素的数值范围来获得 P 和 D？

非常感谢

最好的问候

【问题讨论】：

这不是一个很好的问题。如果我们假设特征值对于给定范围内的所有可能值都是实数，那么为它们找到可能值的区间是有意义的。特征向量没有定义的大小或符号，因此特征向量的非零实分量的间隔基本上从-oo 到oo。我认为无论您最终尝试做什么，都可能有比使用您在这里要求的更好的方法。

感谢您的回复。上面符号矩阵的特征向量是作为参数a、b、c和d的函数给出的（这实际上是我们在执行上面的代码时得到的）。所以，我看不出特征向量的范围应该是无限的，因为参数的范围是有限的。我尝试使用 for 循环扫描参数，但它仍然返回符号特征向量。

您的矩阵M 仍然包含符号变量，只是在循环中您已将变量名称重新用于新的、不相关的浮点变量。这些是未使用的，不会神奇地出现在M 中。您需要直接从它们构造矩阵，或使用subst 函数或方法。

特征向量的任何倍数都是特征向量，因此如果存在第一个分量为 1 的特征向量，那么也有第一个分量等于任何实数或复数的特征向量。此外，特征值和特征向量都可能很复杂，在这种情况下，不清楚您所说的“间隔”是什么意思。同样在重复根的情况下，任何非零向量都可能是特征向量。你在这里要求的东西在数学上没有意义，所以我想退后一步，解释一下你为什么首先想要这个。

好的。让我重新表述我的问题。符号矩阵 M 的数值对角化是否提供的唯一信息是 M 中元素的范围？ （使用python）。

【参考方案1】：

您可以使用 Python 中的函数来解决方阵的特征值/特征向量问题，即 numpy.linalg 中的 eig 函数。 更多参考：https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.linalg.eig.html