所有数字的总和，直到它在java中变成单个数字，复杂度为o（1）？

Posted 2023-05-08

【中文标题】所有数字的总和，直到它在java中变成单个数字，复杂度为o（1）？

【英文标题】：Sum of all the digits till it becomes single digit in java with o(1) complexity?

【发布时间】：2016-11-08 17:24:06

【问题描述】：

我从亨利那里找到了答案

int sum = n % 9;
if (sum == 0) sum = 9;

这里

java program that sums up the digits of a number until it is a single number Eg: 2748303 = 2+7+4+8+3+0+3 = 27 = 2+7 = 9

谁能解释一下加数和余数的关系？

我的逻辑也应该如下，上面的链接也提到了

int sum = 0;
    while (n > 9 ) 
                 sum=0;
        while (n > 0) 
            int rem;
            rem = n % 10;
            sum = sum + rem;
            n = n / 10;
        
        n = sum;
    

但是 2 行答案很棒。

【参考方案1】：

在 Java 中，整数的范围有限，因此提醒具有 O(1) 渐近复杂度。

现在是您的主要问题：

谁能解释一下如何添加数字和余数 有关系吗？

首先请注意，任何数字n 在除以9 作为其数字总和时都有相同的提醒。如果这看起来不是很明显，这里是一个证明的草图。

证明

让nk,...,n2,n1,n0 成为号码n 的k+1 数字。

让10^p 表示p 的10 次方。

然后

n = 10^k * nk + ... + 100 * n2 + 10 * n1 + n0 =
  = (10^k - 1) * nk + ... + (100-1) * n2 + (10-1) * n1 +
    + nk + ... + n2 + n1 + n0

现在注意最后一行是数字n的数字总和

  S0 = nk + ... + n2 + n1 + n0

让

 S1 = (10^k - 1) * nk + ... + (100-1) * n2 + (10-1) * n1

可以被 9 整除，因为对于所有 p > 0，10^p - 1 = 9...9 可以被 9 整除。

由于n = S1 + S0 且 S1 可被 9 整除，因此 S0 % 9 = n % 9。

这就是我们想要证明的

现在让S(n) 表示返回数字n 的数字总和的函数，那么正如我们刚刚观察到的那样

  n % 9 = S(n) % 9 = S(S(n)) % 9 = ...

我们可以继续处理，直到我们达到一个数字。

这就是提醒和数字总和的关系。

【讨论】：

正如你提到的，这只是证明n%9 = S*(n)%9。它并不能证明 n%9 和 S(n) 是相同的，因为它们实际上不是（有 9 != 0 的情况）。然而，S(n) 等于 (n-1)%9+1。

@andresp 这点不错，原帖中已经处理了：int sum = n % 9; if (sum == 0) sum = 9;