如何（有效地）生成不相交的集合，同时只使用一次元素对？

Posted 2023-05-08

【中文标题】如何（有效地）生成不相交的集合，同时只使用一次元素对？

【英文标题】：How to (efficiently) generate disjoint sets while usings pairs of elements only once?

【发布时间】：2015-12-24 11:20:56

【问题描述】：

我想做的是将一组 (n) 个项目分成大小相等的组（大小为 m 的组，并且为简单起见，假设没有剩余，即 n 可被 m 整除）。这样做多次，我想确保没有任何一对项目在同一组中出现两次。

为了更具体一点，为了将六个项目中的两个组成一组A..F，一次可以以不同的方式将集合划分五次：

(A, B), (C, D), (E, F) (A, C), (B, E), (D, F) (A, D), (B, F), (C, E) (A, E), (B, D), (C, F) (A, F), (B, C), (D, E)

同一组项目只能划分一次，分成三个一组，而不会重叠：

(A, B, C), (D, E, F)

_{（正如@DavidHammen 在下面指出的那样，在此示例中创建分区有不同的方法。但是，一旦创建了分区，就再也没有第二个分割将所有成对的项目分开了。那就是很好——我的应用程序不需要生成所有可能的全局分区方法，一个满足约束的解决方案就可以了）}

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我现在的问题是：有没有办法有效地做到这一点？有没有加快生成这些集合的技巧？

到目前为止，我一直将此视为exact cover 问题，并使用backtracking algorithm（DLX 的一种变体）解决它。这对配对非常有效，但随着组变得更大，算法必须考虑的可能性数量会激增，并且处理变得非常笨拙。

我正在寻找的是加快速度的技巧。任何想法都非常受欢迎，特别是（但不限于）：

优化和启发式

以减少在求解之前需要考虑的可能性的数量（例如，从上面的示例中可以清楚地看出，第一次拆分可以简单地任意进行，而第一组每个分区[上面的第一列]可以自动生成）。 是否有可以应对大量候选人的回溯变体？ （即不需要事先生成所有可能性） 我应该考虑的其他

算法

、

方法

或数学概念？

非常欢迎任何想法和建议。 非常感谢您考虑这一点！

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更新

好的，这已经有一段时间了，但我在这方面花了很多时间，想回复你。 @david-eisenstat 通过给我正确的搜索词（非常感谢！）让我走上了正确的道路——我已经阅读了很多关于社交高尔夫球手问题的文章。

我发现的最好的资源之一，我想在这里分享，是Markus Triska 的工作，他在他的论文中讨论了几种方法（然后继续提出一个非常好的算法）。如果有人遇到类似问题，强烈建议这样做！

【问题讨论】：

Re 同一组项目只能分成一次，分成三个一组而不重叠对：((A B D), (C E F))和((A B E) (C D F))有什么问题，至少还有六个?所述问题并未说明您排除这些组合的原因。

@DavidHammen 对 A B 似乎在两个分区中的同一组中。在 OP 的问题中，它指出 没有一对项目在同一组中出现两次

非常感谢你们两个！ @DavidHammen：您完全正确，因为我可以使用您的任何示例而不是我给出的示例。我将在问题中澄清这一点。

@a-s-h：我的意图完全正确，感谢您的澄清！再次感谢您的努力和对问题的思考。

您可能需要搜索关键字：组合设计、正交数组。

【参考方案1】：

以Social Golfer Problem 的名义研究这个问题。文献规模庞大，但主要有以下三种方法：

本地搜索方法，可以处理很多对不存在的情况。

完整的搜索方法，例如还原到精确覆盖。据我记得，这里的研究围绕着有效的对称破坏方法展开，其中你修复第一行的想法可能是最简单的。

数学结构。当 q 是主要幂时，有一个涉及finite affine planes 的 q 组 q 的构造，实现起来并不太糟糕。除此之外，还有很多一次性的结构。组合设计手册可能是您总结已知知识的最佳选择。

【讨论】：

哇，非常感谢您快速而全面的回答！您的指针在查找其他文献和实现指针方面非常有帮助。我也看过《组合设计手册》，看起来我只需要深入研究数学:-)。我现在已经对您的答案投了赞成票（希望我可以多次这样做），当我阅读完一些内容后，我会回来并将我的发现添加为评论。

【参考方案2】：

设n=m*k，分区有m 组和k 项。

在x 分区之后，每个项目都与x*(k-1) 其他项目在一个组中。创建t-1分区后，在下一个分区A可以选择：

second element : n -   (t-1)*(k-1)   - 1  items
third element  : n - 2*(t-1)*(k-1)   - 2  items
fourth element : n - 3*(t-1)*(k-1)   - 3  items
...
k'th element   : n -   (t-1)*(k-1)^2 - (k-1)  items

要创建t'th 分区，我们需要：

n - (t-1)*(k-1)^2 - (k-1) > 0
=>
t < (n - k + 1) / ((k-1)^2) + 1

可能的分区数随着组长度的平方而减少。这意味着，没有太多可能的分区:-)

我会采用一些贪婪的方法。为每个项目存储可用项目集，并通过将第一个可用项目添加到组来创建新分区。