编程竞赛中的背包变体
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【中文标题】编程竞赛中的背包变体【英文标题】:Knapsack variation in Programming contest 【发布时间】:2014-05-18 06:36:13 【问题描述】:问题:
考试由 N 个问题组成。 N道题的分数分别为m1、m2、m3、.. mN。 Jam 正在参加考试,他想最大限度地提高自己的分数。 然而,他需要一些时间来解决每个问题。他解决问题所用的时间分别为 t1, t2, t3, .. tN。 考试总时间为T。 但是 Jam 的老师很聪明,她知道 Jam 会想办法获得最高分。所以,为了迷惑Jam,她还为他提供了奖金—— 提议是,Jam 可以选择一个问题,他可以为该问题获得双倍的分数。 现在,Jam 确实很困惑。帮助他找出他可以获得的最大分数。
约束
1
1
1
1
我尝试了这个问题here 并提出了以下算法:
既然问题说,我们可以选择一个问题,他可以为该问题获得双倍的分数。
所以,为了选择那个问题,我应用了贪婪方法,即..
-
应选择具有较大(分数/时间)比率的问题,他可以为此问题获得双倍分数。
如果该比例也相同,则应选择分数较大的问题。
就我理解的问题而言,其余的都是简单的背包。 我尝试了以下实现,但得到了错误的答案。 对于给定的测试用例,我的代码给出了正确的输出
3 10 1 2 3 4 3 4
我已经尝试了 cmets 部分中给出的这个测试用例,我的代码给出了 16 作为输出,但答案应该是 18
3
9
9 6 5
8 5 3
蛮力方法会超出时间限制,因为解决 N 个背包的复杂度 O(nW) 将给出 O(n^2 W) 的整体时间复杂度 我认为可以为这个问题开发一个更具体的算法。 还有比这更好的主意吗?
谢谢
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int T[2][10002];
int a[1000002],b[100002];
float c[100002];
int knapSack(int W,int val[],int wgt[],int n)
int i,j;
for(i=0;i<n+1;i++)
if(i%2==0)
for(j=0;j<W+1;j++)
if(i==0 || j==0)
T[0][j]=0;
else if(wgt[i-1]<=j)
T[0][j]=max(val[i-1]+T[1][j-wgt[i-1]],T[1][j]);
else
T[0][j]=T[1][j];
else
for(j=0;j<W+1;j++)
if(i==0 || j==0)
T[1][j]=0;
else if(wgt[i-1]<=j)
T[1][j]=max(val[i-1]+T[0][j-wgt[i-1]],T[0][j]);
else
T[1][j]=T[0][j];
if(n%2!=0)
return T[1][W];
else
return T[0][W];
int main()
int n,i,j,index,t,mintime,maxval;
float maxr;
cin>>n;
cin>>t;
for(i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];
for(i=0;i<n;i++)
cin>>b[i];
maxr=0;
index=0;
mintime=b[0];
maxval=a[0];
for(i=0;i<n;i++)
c[i]=(float)a[i]/b[i];
if(c[i]==maxr && b[i]<=t)
if(a[i]>=maxval)
maxval=a[i];
mintime=b[i];
index=i;
else if(c[i]>maxr && b[i]<=t)
maxr=c[i];
maxval=a[i];
mintime=b[i];
index=i;
a[index]=a[index]*2;
int xx=knapSack(t,a,b,n);
printf("%d\n",xx);
【问题讨论】:
当问题需要准确答案时,为什么要使用贪心近似? @user2357112:因为我想不出更好的方法 蛮力法是解N个背包(在每个背包中选择另一个问题进行加倍)并采取整体最佳解决方案。 @Henry:感谢您提出蛮力方法,但这肯定会超出时间限制 @user2357112:我已经知道暴力破解了。还有比这更好的吗? 【参考方案1】:要解决这个问题,我们先来看the wikipedia article on the Knapsack problem,它为正则问题提供了动态规划解决方案:
// Input:
// Values (stored in array v)
// Weights (stored in array w)
// Number of distinct items (n)
// Knapsack capacity (W)
for j from 0 to W do
m[0, j] := 0
end for
for i from 1 to n do
for j from 0 to W do
if w[i] <= j then
m[i, j] := max(m[i-1, j], m[i-1, j-w[i]] + v[i])
else
m[i, j] := m[i-1, j]
end if
end for
end for
(正如文章所说,您可以通过使用一维数组 m 而不是二维数组来减少内存使用量)。
现在我们可以使用这个想法来解决扩展问题。您可以计算两个表:您可以计算 m0 和 m1,而不是 m。 m0[i, w] 存储使用重量最多为 w 的前 i 个项目(在您的情况下是时间)获得的最大值,不使用双重评分问题。类似地,m1 存储使用权重(在您的情况下)最多为 w 的前 i 个项目获得的最大值,并使用双重评分问题。
更新规则改为:
if w[i] <= j then
m0[i, j] := max(m0[i-1, j], m0[i-1, j-w[i]] + v[i])
m1[i, j] := max(m1[i-1, j], m1[i-1, j-w[i]] + v[i], m0[i-1, j-w[i]] + 2 * v[i])
else
m0[i, j] = m0[i-1, j]
m1[i, j] = m1[i-1, j]
end if
与常规问题一样,您可以使用两个一维数组而不是两个二维数组来减少内存使用量。
【讨论】:
它没有回答问题,这是背包的变体,而不是“常规”背包 @amit 我认为您没有阅读完整的答案。我介绍了常规问题的解决方案,以便我可以将其扩展到双分项的问题。 是的,你隐藏得太好了。道歉,尝试更好地格式化它(答案的开头,其中很大一部分是普通背包......)-除此之外,很好的答案(+1)。 PS,我也在考虑同样的事情,但是使用额外的维度而不是m0,m1
,IMO 会更优雅。
谢谢@amit,我已经编辑了答案,以便更清楚为什么我首先查看常规问题。【参考方案2】:
为什么不使用动态编程?
http://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Dynamic_programming
【讨论】:
以上是关于编程竞赛中的背包变体的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章