2个相同容量的背包-为啥我们不能两次找到最大值

Posted 2023-02-16

【中文标题】2个相同容量的背包-为啥我们不能两次找到最大值

【英文标题】：2 knapsacks with same capacity - Why can't we just find the max-value twice2个相同容量的背包-为什么我们不能两次找到最大值

【发布时间】：2015-07-29 09:40:20

【问题描述】：

如果给你一组具有价值和重量的物品：[(w1,v2),(w2,v2),...(wn,vn)]，以及两个容量相同的背包 Knap1 和 Knap2 C，目标是确定哪些物品 S1 和 S2 的最优子集可以分别进入 Knap1 和 Knap2 并最大化背包的价值和容量。

解决此问题的错误方法是首先使用 DP 编程算法将所有项作为候选项填充 Knap1，然后使用 Knap1 中剩余的项填充 Knap2。

如果两个背包的容量相等，我不明白为什么这个算法不正确。有人可以解释一下或举个例子吗？

【参考方案1】：

一个反例： 集合 S 项：(w_i, v_i)

   s_1=(1,2) , s_2=(2,1) , s_3=(3,10) , s_4=(4,7) 

背包容量：c_1 = c_2 = 5

您的第一轮 DP 将获取项目 s_1 和 s_3，这将产生价值 12。现在是第二个背包，左边有s_4 和s_2。因此，您的算法将选择s_4，这将导致值7。 s_2 将被留下。 总值：19

最佳解决方案是在一个背包中使用s_1 和s_4，在另一个背包中使用s_2 和s_3。 最优总值：20

【参考方案2】：

假设背包的容量是10，我们有这些物品（重量，价值）：

(8, 200) (1, 10) (1, 10) (2, 15) (9, 100)

只看一个背包的贪心算法会使用重量为 8、1 和 1 的物体来得分 220 值，但是当你考虑到两个麻袋都清楚地留下 1 并拿走 2 时更好。

【讨论】：

'greedy' 在这里是指只查看一个背包并找到该麻袋的最佳解决方案，而不考虑第二个麻袋。如何找到第一个 sack 的最佳解决方案（DP 或任何其他算法）与这个答案（和问题）无关。