如何插值旋转？

Posted 2023-04-12

【中文标题】如何插值旋转？

【英文标题】：How to interpolate rotations?

【发布时间】：2011-02-22 04:39:17

【问题描述】：

我有两个描述旋转的向量；一个起始旋转 A 和一个目标旋转 B。我最好如何将 A 插值 F 以接近 B？

当需要对多个维度进行插值（即产生不希望的旋转）时，对向量使用简单的 lerp 无法正常工作。也许从旋转向量构建四元数并使用 slerp 是要走的路。但是，那么，我怎样才能从得到的四元数中提取一个描述新旋转的向量呢？

提前致谢。

【问题讨论】：

你能解释一下为什么 SLERP 不适合你吗？插入多个维度是什么意思，我相信它只是从一个点（向量 A）开始并在另一个点（向量 B）结束，围绕原点进行最短的旋转。

一维以上是指多个轴，例如同时围绕 X 和 Y 旋转，而不是仅围绕单个轴旋转。这就是 LERP 失败的时候。

从根本上说，这没有多大意义，因为无论多轴的每次旋转都等价于 到某个其他轴的旋转。所以真的没有理由为什么线性插值在所有情况下都不起作用。

【参考方案1】：

由于我似乎不明白你的问题，这里有一个小SLERP 在 python 中使用 numpy 实现。我使用 matplotlib (v.99 for Axes3D) 绘制了结果。 我不知道你是否可以使用 python，但看起来像你的 SLERP 实现吗？在我看来，结果很好......

from numpy import *
from numpy.linalg import norm

def slerp(p0, p1, t):
        omega = arccos(dot(p0/norm(p0), p1/norm(p1)))
        so = sin(omega)
        return sin((1.0-t)*omega) / so * p0 + sin(t*omega)/so * p1


# test code
if __name__ == '__main__':
    pA = array([-2.0, 0.0, 2.0])
    pB = array([0.0, 2.0, -2.0])

    ps = array([slerp(pA, pB, t) for t in arange(0.0, 1.0, 0.01)])

    from pylab import *
    from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
    f = figure()
    ax = Axes3D(f)
    ax.plot3D(ps[:,0], ps[:,1], ps[:,2], '.')
    show()

【讨论】：

你有什么理由不把所有的东西都除以so？数值稳定性...？

【参考方案2】：

一个简单的 LERP（和重整化）仅在向量非常接近时才能正常工作，但当向量距离较远时会导致不需要的结果。

有两种选择：

简单的叉积：

使用叉积确定与 A 和 B 都正交的轴 n（注意向量对齐时）并计算 A 和 B 之间的角度 a B 使用点积。现在您可以简单地通过让 a 从 0 到 a 来接近 B（这将是 aNew 并应用 aNew 关于 A 上的轴 n。

四元数：

计算将 A 移动到 B 的四元数 q，并使用 SLERP 用身份四元数 I 对 q 进行插值。然后可以将生成的四元数 qNew 应用于 A.

【参考方案3】：

嗯，您的 slerp 方法会起作用，并且可能在计算上是最有效的（尽管它有点难以理解）。要从四元数返回向量，您需要使用一组可以找到 here 的公式。

还有一些相关的代码here，虽然我不知道它是否对应于你的数据表示方式。

【讨论】：

谢谢。我设法从四元数中取回向量。如果我只在一个轴上插值，则使用 SLERP 的设置可以正常工作。然而，对我来说非常奇怪的是，当使用多个轴时，SLERP 产生的行为与简单向量 LERP 大致相同，也就是说，旋转有时会疯狂地跳跃。有什么想法吗？

听起来你正在获取云台锁；仅当您在正确的坐标中表示旋转时，才能将旋转表示为矢量：en.wikipedia.org/wiki/Gimbal_lock

Uhuu，你能澄清一下“围绕多个轴旋转”是什么意思吗？当您在四元数 a 和 b 之间执行 slerp 时，您围绕一个轴旋转；四元数 c 的轴，其中 c = b * a^-1

【参考方案4】：

如果您决定使用四元数（它会非常好用），请在此处查看我对实施四元数资源的回答： Rotating in OpenGL relative to the viewport

您应该在那篇文章的链接中找到大量示例。