找出 AVL 树中两个数字之间的最小间隙

Posted 2023-03-31

【中文标题】找出 AVL 树中两个数字之间的最小间隙

【英文标题】：Find the minimum gap between two numbers in an AVL tree

【发布时间】：2012-09-02 01:50:00

【问题描述】：

我有一个数据结构作业，除了常规的 AVL 树函数之外，我还必须添加一个函数，该函数返回 AVL 树中任意两个数字之间的最小间隙（AVL 中的节点实际上代表数字。）

假设我们在 AVL 树中有数字（作为节点）1 5 12 20 23 21，该函数应该返回任意两个数字之间的最小间隙。在这种情况下，它应该返回“1”，即 |20-21|或 |21-20|。

应该在 O(1) 内完成。

想了很多，我知道有一个窍门，但就是找不到，我花了好几个小时来解决这个问题。

还有一个任务是找到最大间隙，这很容易，它是最小和最大数之间的差。

【问题讨论】：

为什么最小间隙不是|21 - 20| = 1 ?

哦，非常抱歉！应该是 |21-20|或 |20-21| = 1，函数应该返回 1！非常抱歉这个错误！

当我用这些数字绘制平衡二叉树时，20 是根节点，21 是根的右子树中最深和最左边的叶节点。我有一种感觉，你必须区分根和很深的叶子。我必须再次阅读 AVL 树，看看您是否可以“滥用”这些树的这一特性。

我很确定有这种技巧。令我震惊的是我应该在 O(1) 中做到这一点——我想不出任何算法可以做到这一点！此外我应该提到，AVL 树的所有基本功能，如 Init、Search、Insert、Delete 仍然应该是 O(log(n)) - 所以我确定我不应该在基本功能中添加任何东西！这个问题让我摸不着头脑！

看看这个链接：***.com/questions/1484473/… 似乎确实存在该算法，但需要 O(n) 中的预处理

【参考方案1】：

您需要扩展数据结构，否则您无法获得组成树的数字之间的最小间隙的 O(1) 搜索。

你有额外的限制不增加插入/删除/搜索功能的时间复杂度，我假设你也不想增加空间复杂度。

让我们考虑一个通用节点 r，它有一个左子树 r.L 和一个右子树 r.R；我们将扩展节点 r 中的信息附加数字 r.x 定义为以下之间的最小值：

（仅当 r.L 不为空时）r 值和 r.L 上最右边叶子的值 （仅当 r.L 大于 1 时）r.L 根节点的 x 值 （仅当 r.R 不为空时）r 值和 r.R 上最左边的叶子的值 （仅当 r.R 大于 1 时）r.R 根节点的 x 值

（如果前面的条件都不是有效的，则为未定义，在叶节点的情况下）

此外，为了快速插入/删除，我们需要在每个内部节点中添加对其最左侧和最右侧叶节点的引用。

你可以看到这些添加：

空间复杂度仅增加一个常数因子 插入/删除函数需要更新 x 值以及每个已更改子树的根的最左边和最右边的叶子，但以不超过 O(log(n)) 的方式实现是微不足道的李> 树根的x值是函数需要返回的值，所以可以O(1)实现

树中的最小间隙是根节点的 x 值，更具体地说，对于每个子树，子树元素中的最小间隙仅是子树根 x 价值。

可以通过递归来证明这个陈述： 让我们考虑以节点 r 为根的树，具有左子树 r.L 和右子树 r.R。 归纳假设是 r.L 和 r.R x 值的根是子树的节点值之间的最小间隙的值。 很明显，仅考虑值排序列表中值相邻的节点对就可以找到最小间隙； rL 的节点存储的值形成的对在 rL 根 x 值中具有最小间隙，考虑右子树。鉴于（rL 中的任何节点值）L 根节点的值rR 中的任何节点值），唯一的对不考虑的相邻值有两个：

由根节点值和较高的r.L节点值组成的对 根节点值和下r.R节点值组成的对

根据 AVL 树的属性，具有较高值的​​ r.L 节点是其最右边的叶子，而具有较低值的 r.R 节点是其最左边的叶子。 分配给 rx 值四个值（rL 根 x 值、rR 根 x 值、(r - rL 根) 间隙、(r - rR 根) 间隙）之间的最小值是相同的分配整个树中连续节点值之间的间隙越小，也就是任何可能的节点值对之间的间隙越小。 一个或两个子树为空的情况是微不足道的。 仅由一到三个节点组成的树的基本情况，很容易看出树根的 x 值是最小间隙值。

【讨论】：

我不明白两件事。当我们进行插入时，我们会分配这个字段 (x) 和它的值吗？另外，r 值和 r.L 上最右边叶子的值是什么意思？你的意思是最小的差距是两个数字“r值”和“r.L上最右边的叶子”？

是的，字段“x”占用了额外的空间，但是额外的空间复杂度是 O(n)（每个 n 个节点都有一个 int）并且标准 AVL 树需要 O(n ) 已经，空间复杂度并没有增加（是的，毫无疑问它需要更多空间，但复杂度的顺序是相同的，O(n+n)=O(n)）。插入/删除时间复杂度相同：如果添加高达 O(lon(n)) 的计算，则原始 O(lon(n)) 时间复杂度将相同。一个实现肯定会花费更长的时间来执行，但只有一个不变的因素：结构不会失去它的可伸缩性。

x 值在节点插入树时添加，并在需要时通过插入/删除其他节点来更新。是的，我所说的“节点值”是指您从中构建树的数字。

非常棒的方式。谢谢你。但我很好奇，你怎么知道 if (in this condition)->(min gap is between the two values) ？有证据吗？

但有一件事，这个算法并没有告诉我两个数字之间的“最小差距”是多少o.O

【参考方案2】：

此功能可能对您有所帮助：

int getMinGap(Node N)
    
        int a = Integer.MAX_VALUE ,b = Integer.MAX_VALUE,c = Integer.MAX_VALUE,d = Integer.MAX_VALUE;
        if(N.left != null) 
            a = N.left.minGap;
            c = N.key - N.left.max;
        

        if(N.right != null) 
            b = N.right.minGap;
            d = N.right.min - N.key;
        

        int minGap = min(a,min(b,min(c,d)));

        return minGap;
    

这是 Node 数据结构：

class Node

    int key, height, num, sum, min, max, minGap;
    Node left, right;

    Node(int d)
    
        key = d;
        height = 1;
        num = 1;
        sum = d;
        min = d;
        max = d;
        minGap = Integer.MAX_VALUE;