使用二叉索引树进行 RMQ 扩展

Posted 2023-03-31

【中文标题】使用二叉索引树进行 RMQ 扩展

【英文标题】：Using binary indexed trees for a RMQ extension

【发布时间】：2013-06-17 21:21:48

【问题描述】：

RMQ problem 可以这样扩展：

Given 是一个 n 整数数组 A。

query(x, y)：给定两个整数1≤x，y≤n，求A[x], A[x+1], ... A[y]的最小值；

update(x, v): 给定一个整数 v 和 1 ≤ x ≤ n 做A[x] = v。

这个问题可以在O(log n) 中使用segment trees 解决这两个操作。

这在纸面上是一种有效的解决方案，但在实践中，段树涉及大量开销，尤其是在递归实现时。

我知道有一种方法可以解决O(log^2 n) 中的一个（或两个，我不确定）操作的问题，使用二叉索引树（可以找到更多资源，但是@ 987654323@ 和 this 分别是 IMO 最简洁和详尽的）。对于适合内存的n 值，此解决方案在实践中更快，因为 BIT 的开销要少得多。

但是，我不知道如何使用 BIT 结构来执行给定的操作。例如，我只知道如何使用它来查询区间和。如何使用它找到最小值？

如果有帮助，我有其他人编写的代码可以满足我的要求，但我无法理解它。这是一段这样的代码：

int que( int l, int r ) 
    int p, q, m = 0;

    for( p=r-(r&-r); l<=r; r=p, p-=p&-p ) 
        q = ( p+1 >= l ) ? T[r] : (p=r-1) + 1;
        if( a[m] < a[q] )
            m = q;
    

    return m;


void upd( int x ) 
    int y, z;
    for( y = x; x <= N; x += x & -x )
        if( T[x] == y ) 
            z = que( x-(x&-x) + 1, x-1 );
            T[x] = (a[z] > a[x]) ? z : x;
        
        else
            if( a[ T[x] ] < a[ y ] )
                T[x] = y;

在上面的代码中，T 初始化为 0，a 是给定的数组，N 是它的大小（无论出于何种原因，它们都会从 1 开始索引），每次读取都会首先调用 upd价值。在upd 被调用之前a[x] = v 被执行。

此外，p & -p 与某些 BIT 源中的 p ^ (p & (p - 1)) 相同，索引从 1 开始，零元素初始化为无穷大。

谁能解释一下上面的工作原理或我如何用 BIT 解决给定的问题？

【问题讨论】：

for( y = x; x <= N; x += x & -x ) 这很深。顺便说一句，T[] 是什么？ BTW2：我不确定这是否应该是for( y = x; x < N; x += x & -x ) BTW3：什么是N？

@wildplasser - 第一个 for 实际上对于 BIT 来说是相当标准的。 T 似乎是实际保存 BIT 信息的位置。至于N，也就是我的问题陈述中的n，我会编辑进去。

【参考方案1】：

我没有仔细看代码，但似乎与下面的方案大致一致：

1) 保留BIT的结构，即在数组上强加一个基于2的幂的树结构。

2) 在树的每个节点处，保持在该节点的任何后代中找到的最小值。

3) 给定一个任意范围，将指针放在范围的开始和结束处，并将它们向上移动直到它们相遇。如果您将一个指针向上移动并朝向另一个指针，那么您刚刚进入了一个节点，其中每个后代都是该范围的成员，因此请注意该节点处的该值。如果将指针向上移动并远离另一个指针，则刚刚加入的节点记录了从包括范围外的值中派生的最小值，并且您已经注意到范围内该节点下方的每个相关值，因此忽略该节点的值。

4) 一旦两个指针是同一个指针，范围内的最小值就是你注意到的任何节点中的最小值。

【参考方案2】：

从上面的位摆弄，这就是我们所拥有的：

整数数据数组a 的普通位数组g 存储范围和。

g[k] = sum i = D(k) + 1 .. k  a[i]

其中D(k) 只是k，最低1 位设置为0。这里我们改为

T[k] = min i = D(k) + 1 .. k  a[i]

查询的工作方式与普通的 BIT 范围求和查询完全一样，只是在查询进行时取子范围的最小值而不是求和。对于a 中的 N 项，N 中有上限（log N）位，它决定了运行时间。

更新需要更多工作，因为 O(log N) 子范围最小值 - 即 g 的元素 - 受到更改的影响，并且每个都需要一个 O(log N) 查询来解决。这使得整体更新 O(log^2 n)。

在位摆弄级别，这是非常聪明的代码。语句x += x & -x 清除x 中最低顺序的连续1 字符串，然后将下一个最高顺序零设置为1。这正是您“遍历”原始整数x 的BIT 所需要的。

【参考方案3】：

分段树在实践中也是一种有效的解决方案。但是，您不会将它们实现为树。将n 舍入到下一个2 的幂，并使用大小为2*n 的数组rmq。 rmq 的最后一个 n 条目是 A。如果j < n，那么rmq[j] = min(rmq[2*j], rmq[2*j+1])。您只需要以对数方式查看 rmq 的多个条目即可回答范围最小查询。当A 的条目被更新时，您只需要以对数方式更新rmq 的多个条目。

不过，我不明白你的代码，所以我不会评论它。

【讨论】：

当我说它们在实践中很慢时，这就是我所指的实现。 BIT 仍然对缓存更加友好，并且在实践中会更快。

@IVlad：在此处预取帮助。此外，您不需要使用 radix-2 树。您可以使用基数 B 树并调整 B 以适合您的缓存层次结构。 （也许 B=16 是合适的；它为您提供了 1/4 高度的树，而对于 ints，您每级只查看一个缓存行。）

@IVlad：此外，BIT 解决了一个更简单的问题。它们为您提供前缀和（或产品或分钟），并且只有在您有取消法的情况下，您才能使用它们进行范围查询。我从未见过使用 BITs 代替分段树进行范围查询，但我也从未真正看过。