排列一个整数数组，使得没有两个连续数字的总和可以被 3 整除

Posted 2023-02-16

【中文标题】排列一个整数数组，使得没有两个连续数字的总和可以被 3 整除

【英文标题】：Arrange an integer array such that no two consecutive numbers sum is divisible by 3

【发布时间】：2019-11-11 08:12:15

【问题描述】：

我的一个朋友在对一家公司进行在线评估时遇到了这个问题，并问了我这个问题。

给定一个整数数组，我们必须（可能）排列数组，使得没有两个连续数字的总和可以被 3 整除。

数组大小n<=10^5。

如果没有这样的安排，那么我们必须返回Not Possible。

我可以考虑贪婪地填充整数，这样连续元素的总和如果不能被 3 整除，就会给出O(n^2) 解决方案（但是我不确定贪婪地填充元素是否会在这里给出解决方案) 或者我可以考虑通过查看所有可能的安排来做一个（蛮力）DFS，但这将是一个指数时间解决方案，并且对于给定的数组大小条件肯定不会在这里工作。

是否有任何O(nlogn) 或O(n) 解决方案可以解决这个问题？

【参考方案1】：

是的，存在 O(n) 解：

首先将所有元素分成3个桶，元素x将属于桶x mod 3 现在我们可以使用贪心策略：注意来自桶 1 和 2 的元素不能是邻居，来自桶 0 和 0 的元素也是如此 我们可以将桶1中的所有元素放入答案中，然后将桶中的一个元素0和桶中的所有元素2 现在剩下的就是桶 0 中的一些元素，我们可以将它们放在桶 1 的两个元素或桶 2 的两个元素之间 当然，有些极端情况是不可能解决的

【讨论】：

有一个缺失的情况：您也可以在前面或后面添加一个 0（假设存储桶 1 和 2 不为空）。 [0,1,0,2,0] 是一个测试用例。

使用恒定的额外空间进行编码看起来很有用。

【参考方案2】：

算法：将数字分成三组：组 0 = 0 模 3，组 1 = 1 模 3，组 2 = 2 模 3。设 n0、n1、n2 为组 0、1​​ 或2.

第 1 组和第 2 组的元素必须由第 0 组的元素分隔：如果 n0 = 0，并且 n1 > 0 和 n2 > 0，则无解。如果 n0 = 0，并且 n1 = 0 或 n2 = 0 或两者兼有，则无需执行任何操作。

令n = n0 - 1。我们需要第1组和第2组的n个元素来分隔第0组的项目：如果n > n1 + n2，则无解。

现在 0 ≤ n ≤ n1 + n2。令 m = min (n1, n)。从第 1 组的 n1 - m 个元素开始，然后是 m 对（第 0 组的元素，第 1 组的元素），然后是 (n - m) 对（第 0 组的元素，第 2 组的元素），然后是最后一个第 0 组的元素，然后是第 2 组的剩余 n2 - (n - m) 个元素。