使用分而治之的范式提高算法效率

Posted 2023-03-27

【中文标题】使用分而治之的范式提高算法效率

【英文标题】：Increasing algorithm efficiency using divide and conquer paradigm

【发布时间】：2018-02-22 17:36:40

【问题描述】：

我想找到一个数组中的最小和最大整数。我相对低效的方法是考虑第一个整数到最大值\最小值。然后我将其与其他整数进行比较，如果将更大/更小的整数与当前的最小或最大整数进行比较，则将其替换。这一直持续到数组结束。根据我的计算，复杂性（基于最坏的情况）是 n -1 （n 是数组的大小）。我的问题是如何使用分而治之的范式来提高效率？我尝试将数组分成两部分，然后对两个部分执行与上述相同的算法，尽管这只会降低效率？根据我的计算，复杂度变为 n + 1。

【问题讨论】：

在您的情况下，如果像您已经想到的那样，将数组分成块并设置 几个线程，每个块一个线程，那么 D&C 会更有效。收集线程的结果并使用这个减小了大小的数组重复。

您需要检查数组中的 每个 数字，因此它将是 O(n)

blueCat 我使用比较操作来测量复杂度，在最坏的情况下会达到 n - 1？

O(n) 或 O(n-1) 没有任何真正的区别；它们都意味着复杂性是线性的，即如果您将输入加倍，它将使处理该输入所需的步骤数加倍。找到无序列表的最大值永远不会低于 O(n) 复杂度，但您当然可以使用 D&C 来为其投入更多处理器，正如 Ripi2 所提到的，并实际提高速度。

无论是 n-1 还是 n+1，复杂度都是 O(n)，因为 O(n)、O(n+1) 和 O(n-1)（以及 O(n /2) FWIW) 从字面上看都是一样的。 What is a plain English explanation of “Big O” notation? 但是，您可以查看实际的比较次数（对于寻找最小值和最大值的幼稚实现，这将接近 2n），例如，如果您愿意（并忽略复杂性）。

【参考方案1】：

我会认为你正在使用一个线程

如果数组未排序，复杂度将始终为O(n)。但是，在我看来，您应该检查您是否只需要最大数量？或者第二个最大值，以及第三个最大值..

如果是这种情况，您最好构建一个最大堆（对应情况的最小堆），这需要 O(nlogn) 时间，然后只需检查堆的 peek。

【参考方案2】：

为了识别n 元素的最大值，算法必须从比较中获得足够的信息。假设最大值为array[i]，您必须将array[i] 与array[0], ... array[i-1], array[i+1], ... array[n-1] 进行比较，以证明array[i] 是最大值。所以所需的最小比较次数是n - 1比较，以便找到最大值。为什么？因为数组中有n 元素，算法必须从比较中获得足够的信息才能找到最大值。

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Python 中的示例代码

# Divide-and-Conquer find max of alist
def dc_max(alist, start, end): # first call with start=0, end=len(alist)
    if end - start == 1: # base case: list of 1 element
        return alist[start]
    mid = (start + end) // 2
    x = dc_max(alist, start, mid)
    y = dc_max(alist, mid, end)
    if x > y:
        return x
    return y

# Iterative find max of alist
def it_max(alist):
    current = alist[0]
    for i in range(1, len(alist)):
        if i > current:
            current = i
    return current

两种算法都精确地进行n - 1 比较并且是就地的，因此它们都具有Θ(n) 时间复杂度和O(1) 空间复杂度。

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性能现在取决于您的系统。见Is recursion ever faster than looping?

在我的例子中，使用递归方法查找 2**20 数字列表的最大值需要 657ms，而使用迭代方法需要 111ms。