树的分而治之算法

Posted 2023-03-27

【中文标题】树的分而治之算法

【英文标题】：Divide-And-Conquer Algorithm for Trees

【发布时间】：2012-01-01 21:00:35

【问题描述】：

我正在尝试为树编写分治算法。对于除法步骤，我需要一种算法，通过删除一个节点，将具有n 个节点和m 个边的给定无向图G=(V,E) 划分为子树。所有子图都应具有不包含超过 n/2 个节点的属性（树应尽可能等分）。首先，我尝试从树中递归删除所有叶子以找到最后一个剩余节点，然后我尝试找到 G 中最长的路径并删除它的中间节点。下面给出的图表表明这两种方法都不起作用：

是否有一些工作算法可以满足我的要求（在上述情况下返回节点 H）。

【问题讨论】：

我不明白，如果你删除 H 你会得到 9 个子树！

是的，很抱歉在这里不清楚，我可以得到很多子树，但我不希望一个大于图表的一半，以确保我只对除步进行对数计数。

还有一件事，你如何把“树应该尽可能相等地分割”变成一个可计算的值？

G 中没有被移除节点的连接组件的最大尺寸应该被最小化。

一个算法仍然被认为是 O(logN)，即使它在每一步都没有将树完全减半。将其减半有什么重要性？

【参考方案1】：

我认为你可以用这样的算法来做到这一点：

从根开始（如果树没有根，选择任何节点）。 在每一步中，尝试下降到具有最大子树的子节点（“下面”的节点数最大）。 如果这样做会使“上方”的节点数大于 n/2，则停止，否则继续该子节点。

如果树是合理平衡的并且我们为每个节点预先计算了子树的大小，则该算法应该是 O(log n)。如果其中一个条件不适用，则为 O(n)。

【讨论】：

什么是无向树的根？另外我怎么知道子树有多大？

就像我说的，如果你没有给定根，你可以选择任何节点作为根。并且要知道子树有多大，您必须计算它，理想情况下缓存结果，这样您就不必多次计算它。

这肯定超过 O(n)，假设您从示例中的节点 A 开始。您将首先扫描整个子树，然后移至 B，然后移至 C，依此类推，每次扫描整个子树时都会得到更高的时间。

你不需要扫描整个子树，你只需要知道计数。您可以在第一次需要时在 O(n) 中计算所有这些。

现在我明白了，我接受了，因为它似乎更容易实现。

【参考方案2】：

一个精确的算法是这样的，

从叶子开始并创建不相交的图（实际上都是K1），在每一步中找到这个叶子的父节点，并将它们合并到新树中，在每个步骤中如果节点x有r已知子节点并且节点的度数是j，这样j = r+1，只是一个不在x的子节点中的节点是当前节点的父节点，在这种情况下我们说节点x是nice，否则，有一些child 使得它们的相关根子树没有被构造，在这种情况下我们说节点x 是bad。

所以在每一步中将nice 节点连接到它们相关的父节点，很明显每一步都需要sum of degree of parent nice nodes 在每一步中你至少有一个不错的节点（因为你从叶子开始），所以算法是 O (n)，它会完全完成，但是为了找到应该删除的节点，实际上在每个步骤中都需要检查双联列表（子树列表）的大小，这可以在 O(1) 中完成, 另外如果列表的大小等于或大于n/2，则选择相关的nice节点。 （实际上是在满足这个条件的最小列表中找到好的节点）。

显而易见的是，如果可以以良好的方式划分树（每个部分最多有 n/2 个节点），您可以通过此算法完成，但如果不是这样（实际上您不能将其一分为二或尺寸小于 n/2 的更多部分）这为您提供了很好的近似值。同样如您所见，输入树中没有任何假设。

注意：我不知道是否有可能拥有一棵树，从而无法通过删除一个节点将其划分为小于 n/2 的某些部分。

【参考方案3】：

这个问题似乎类似于寻找对象的center of mass。 假设您的每个节点都是等质量（重量）的点质量，并且其位置由图中的位置给出。您的算法试图找到质心，即在所有连接的子树中具有相似的节点累积权重的节点。

您可以计算每个节点的所有子树的累积权重。然后选择最平衡的一个，s.t.没有子树的重量超过n/2。可能这是一些动态编程的任务。

【参考方案4】：

这是我使用并测试过的一种方法。

从查找树的根开始，您可以通过创建一个包含其中所有节点的集合，然后创建另一个数组 NeighboursNumber[]，其中每个节点的邻居数存储相应的索引。 然后遍历集合并消除叶子（节点 i 具有 NeighboursNumber[i] == 1 ），确保将这些节点添加到另一个集合 RemovedSet （以避免更新问题），然后在每次迭代后通过 RemovedSet 并减少集合中每个元素的所有邻居的 NeighboursNumber[] 条目。 最后，您将拥有根节点。 （确保您实现的情况是剩下 2 个节点和 1 个邻居）。 在找到根之后，我们继续找到每个子树的大小。这里的技巧是在寻找根的同时执行此操作：在第一次迭代中消除叶子之前，首先创建一个数组 SubTreeSize[] ，每次我们从集合中删除一个节点时，我们添加该节点的值 + 1 到父节点的值： SubTreeSize[parent] = SubTreeSize[parent] + SubTreeSize[removedNode] + 1 ； 这样，当我们找到根时，我们也有每个子树的大小。 然后我们从根开始检查每个邻居的子树大小 + 1 > nodes / 2 ，如果是，那么我们选择那个节点并重新开始。当所有子节点大小为

对于具有 10^5 个节点的树，此方法花费的时间不到一秒。